ЛИПШИЦА УСЛОВИЕ

- ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек хи х', принадлежащих отрезку [а, Ь], приращение функции f удовлетворяет неравенству

где и М - нек-рая постоянная, то говорят" что функция f (х).на отрезке [а, b]удовлетворяет условию Липшица порядка a, и пишут: или или Каждая; функция, удовлетворяющая при каком-либо a>0 Л. у. на отрезке [ а, b], равномерно непрерывна на [ а, b], a функции, удовлетворяющие Л. у. степени a=1,- абсолютно непрерывны. Функция, имеющая на [ а, b]ограниченную производную, удовлетворяет на [ а, b] Л. у. с любым

Л. у. (*) эквивалентно условию

где - непрерывности модуль функции f(x).на отрезке [ а, b]. Л. у. впервые рассматривалось Р. Липшицем [1] в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье функции f(x). Условие (*) в случае 0 Гёлъдера условием степени a.

Лит.:[1] Lipschitz R., "j. reine und angew. Math.",. 1864, Bd 63, S. 296-308; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1 - 2, М., 1965; [3] Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.- Л., 1949.

А. В. Ефимов.

интегральное - ограничение на поведение приращения функции в интегральной метрике. Функция f(x).из пространства с удовлетворяет на отрезке [ а, b]интегральному Липшица условию порядка a>0 с постоянной М>0, если

при всех В этом случае пишут или или или Для случая периодич. функций (с периодом b - а).интегральное Л. у. определяется аналогично, только в неравенстве (*) верхний предел интегрирования b-h следует заменить на b.

Лит.:[1] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1965; [2]. Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [3] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М., Интегральное представление функций и теоремы вложения, М., 1975. А. В. Ефимов.