Значение слова "СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ" найдено в 4 источниках

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

найдено в "Энциклопедическом словаре Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона"

Функция от n переменных х₁, x₂,..., х_n наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x₁²x₂ + x₁²x₃ + х₂²x₁ + x₂²x₃ + x₃²x₁+ x₃²x₂ есть С. функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х₁, x₂ и x₃. Эта функция вполне определяется одним членом х₁²x₂ и потому для краткости обозначается через Σx₁²x₂. Подобным же образом С. функции от x₁, x₂, x₃ и х₄

Σx₁²x₂² = x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₁²x₄² + x₂²x₃² + x₂²x₄² + x₃²x₄².

С. функции называются элементарными, если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные С. функции суть

Σx₁ = с₁, Σx₁x₂ = c₂, Σx₁x₂x₃ = c₃,..., х₁x₂...x_n = с_n.

Здесь введены буквы c₁, c₂,..., с_n для обозначения этих функций.

Если x₁, x₂,..., x_n корни уравнения f(x) = xⁿ + p₁x^n—¹ + p₂x^n—²+...+ p_n—₁x + P_n = 0, то

c₁ = —p₁, c₂ = p₂, c₃ = —p₃,..., c_n =(—1)ⁿp_n.

Всякая целая С. функция от x₁, x₂,..., х_n есть целая функция от с₁, c₂,..., с_n.

Вычислить С. функцию значит выразить ее через элементарные С. функции. Для вычисления С. функции. S_m = Σx₁^m служат следующие формулы Ньютона

s₁ — с₁ = 0

s₂ — c₁s₁ + 2с₂ =0

s₃ — c₁s₂ + c₂s₁ — 3c₃ = 0

s_n — с₁s_n—₁ + c₂s_n—₂ —... + (—1)ⁿncⁿ = 0

s_n+k — c₁s_n+k—₁ + c₂s_n+k—₂ —.... . + (—1)ⁿc_ns_k = 0.

Для вычисления С. функции более сложного вида могут служить формулы

Σx₁^αx₂^α = 1/2[(s_α)² — s_2α]

Σx₁^αx₂^β = s_αs_β — s_α₊_β, α не = β

Σx₁^αx₂^αx₃^α = 1/6[s_α³ — 3s_2αs_α + 2s_3α]

Σx₁^αx₂^αx₃^β = 1/2(s_α²s_β — s_2αs_β — 2s_α₊_βs_α + 2s_2α₊_β

Σx₁^βx₂^βx₃^γ = s_αs_βs_γ — s_α₊_βs_γ — s_α₊_γs_β — s_β₊_γs_α + 2s_α₊_β₊_γ.

Здесь числа α, β и γ различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления С. функций. При помощи С. функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.

Д. С.

Найдено 7 изображений:

Изображения из описаний на этой странице

найдено в "Большой Советской энциклопедии"

функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ фото №1

где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k, l,...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x₁, x₂,..., x_n являются корнями уравнения:

xⁿ - f₁x^n-1 + f₂x^n-2 - ··· + (- 1) ⁿf_n = 0.

Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F (x₁, x₂.,..., x_n) = G (f₁, f₂,..., f_n); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; например,

Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы

Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона

s_i - f₁s_l-1 + f₂s_l-2 + ··· + (— 1) ^lf_l = 0, СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ фото №6

s_n+l - f₁s_n+l-1 + ··· +(-1) ⁿ f_ns_l = 0,

позволяющими последовательно выражать f_k через s_rn и обратно.

Функция называется кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x₁, x₂,..., x_n и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f₁, f₂,..., f_n и разностное произведение (см. Дискриминант) D = П_к<1 (x_k — x_l), квадрат которого является С. ф. и потому рационально выражается через f₁, f₂,..., f_n.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.

найдено в "Большой советской энциклопедии"

СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, напр.

или x₁²+ x₂² + x₃² - 4x₁ x₂ х₃.. Особое значение в алгебре имеют симметрические многочлены (с. м.) и среди них -элементарные симметрические многочлены (э. с. м.)- функции

где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k, I, ...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x₁, x₂ ,..., х_n являются корнями уравнения:

х^п - f₁xⁿ-1

+ f₂xⁿ-2 - ... + ( - 1)ⁿf_n = 0. Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F(x₁, х_г, ..-, х_п) = = G (f₁, f₂, ..., fn); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; напр.,

x₁²

+ x₂² + x₃² - 4x₁ x₂ х₃. = f₁² - 2f₂ - 4f₃.

Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы

Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона

позволяющими последовательно выражать fk через s_m и обратно.

Функция наз. кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x₁, x₂, ..., х_п и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f₁, f₂, ..., fn и разностное произведение (см. Дискриминант) D = П_k<l (x_k - x_l), квадрат к-рого является С. ф. и потому рационально выражается через f₁, f₂, ..., f_n. Лит.: К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z