- линейная топология кольца А, в к-рой фундаментальная система окрестностей нуля образована степенями 
нек-рого двустороннего идеала 
В этом случае топология наз.
адической, а идеал 
- идеалом определения топологии. Замыкание любого множества 
в 
-адической топологии равно 
в частности, топология отделима тогда, и только тогда, когда 
Отделимое пополнение 
кольца Ав 
-адической топологии изоморфно проективному пределу 
Аналогично определяется 
-адическая топология А-модуля М:ее фундаментальная система окрестностей нуля задается подмодулями 
в 
-адической топологии Мстановится топологическим А-модулем.
Пусть 
- коммутативное кольцо с единицей в 
адической топологии и 
- его пополнение; если 
- идеал конечного типа, то топология в 
является 
адической, а 
Если 
- максимальный идеал, то Аявляется локальным кольцом с максимальным идеалом 
Топологией локального кольца считается А.т., определяемая максимальным идеалом (т-а дическая топология).
Для изучения А. т. колец фундаментальной является лемма Артина- Риса: пусть Аесть коммутативное нётерово кольцо, 
есть идеал в А, Е есть А-модуль конечного типа и F- подмодуль модуля Е. Тогда существует такое k, что для любого 
выполняется равенство
Топологич. интерпретация леммы Артина - Риса показывает, что 
-адическая топология на Fиндуцирована 
-адической топологией модуля Е. Отсюда следует, что пополнение 
кольца Ав 
-адической топологии является плоским Л-модулем (см. Плоский модуль), что пополнение 
А-модуля Еконечного типа совпадает с 
а также теорема Крулля:
адическая топология нётерова кольца отделима тогда, и только тогда, когда множество 
не содержит делителей нуля. В частности, топология отделима, если 
содержится в радикале (Джекобсона) кольца.
Лит.:[1]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971. В. И. Данилов.