ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ

        раздел геометрии, в котором рассматриваются в качестве элементов пространства прямые линии. Как известно, прямая в пространстве определяется четырьмя постоянными — коэффициентами а, b, р, q в уравнениях х = az + р, у = bz + q. Следовательно, величины а, b, р, q можно рассматривать как координаты прямой. Если эти координаты являются функциями одного, двух или трёх параметров, то соответствующие совокупности прямых образуют линейчатые поверхности (См. Линейчатая поверхность) и т. н. конгруэнции и комплексы прямых. Эти геометрические образы и являются объектом изучения Л. г. Примером линейчатой поверхности может служить однополостный гиперболоид, примером конгруэнции — совокупность общих касательных к двум каким-либо поверхностям, примером комплекса прямых — совокупность касательных к одной какой-либо поверхности.

         Для изучения линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых с единой точки зрения в Л. г. вводятся так называемые линейные однородные координаты прямой. Пусть заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда линейными однородными координатами прямой, проходящей через эти точки, называют шесть чисел, пропорциональных (или равных) числам:

         ξ₁= x₁ — x₂, ξ₂ = y₁ — y₂, ξ₃ = z₁ — z₂, ξ₄ = y₁z₂ — y₂z₁, ξ₅ = x₂z₁ — x₁z₂, ξ₆ = x₁y₂ — x₂y₁.

         Числа ξ₁, ξ₂, ξ₃ являются компонентами вектора 4, ξ₅, ξ₆ — компоненты момента этого вектора относительно начала координат.Легко проверить, что числа ξ_i удовлетворяют соотношению

         ξ₁ξ₄ + ξ₂ξ₅ + ξ₃ξ₆ = 0. (1)

         Таким образом, каждой прямой соответствуют шесть определяемых с точностью до постоянного множителя чисел ξ_i, удовлетворяющих соотношению (1), и обратно, числа ξ_i (не все равные нулю), связанные условием (1), определяют единственным образом некоторую прямую (как её координаты в указанном выше смысле). Одно однородное линейное уравнение