ЛИ ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРА

- алгебра Ли, не имеющая ненулевых разрешимых идеалов (см. Ли разрешимая алгебра). В дальнейшем рассматриваются конечномерные Ли п. а. над полем kхарактеристики 0 (о Лн п. а. над полем ненулевой характеристики см. Ли алгебра).

Полупростота конечномерной алгебры Ли равносильна выполнению любого из следующих условий:

1) не содержит ненулевых абелевых идеалов;

2) Киллинга форма алгебры невырождена (к р и т е р и й К а р т а н а);

3) разлагается в прямую сумму неабелевых простых идеалов;

4) всякое конечномерное линейное представление алгебры вполне приводимо (иначе: всякий конечномерный -модуль полупрост);

5) одномерные когомолопш алгебры со значениями в любом конечномерном -модуле тривиальны.

Любой идеал и любая факторалгебра Ли п. а. также полупросты. Разложение Ли п. а., указанное в условии 3), единственно. Частным случаем свойства 5) является следующее утверждение: все дифференцирования Ли п. а. являются внутренними. Свойство полупростоты алгебры Ли сохраняется как при расширении, так и при сужении основного поля.

Пусть - Ли п. а. над алгебраически замкнутым полем k. Присоединенное представление изоморфно отображает алгебру на линейную алгебру Ли к-рая является алгеброй Ли алгебраич.группы всех автоморфизмов алгебры и тем самым Ли алгебраической алгеброй. Элемент наз. полупростым (н и л ь п о т е н т н ы м), если ad X полупрост (соответственно нильпотентен). Это свойство элемента Xсохраняется при любом гомоморфизме алгебры в другую Ли п. а. Связная компонента единицы совпадает с группой внутренних автоморфизмов алгебры т. е. порождается автоморфизмами вида exp (ad X),

При изучении Ли п. а. над алгебраически замкнутым полем kсущественную роль играют корни Ли п. а., к-рые определяются следующим образом. Пусть - подалгебра Картана алгебры Для ненулевой линейной функции через обозначается линейное подпространство в заданное условием:

Если то а наз. корнем алгебры относительно Множество всех ненулевых корней наз. корневой системой, или системой корней, алгебры Имеет место корневое разложение:

Корневая система и корневое разложение Ли п. а. обладают следующими свойствами:

1) порождает и является приведенной корневой системой в абстрактном смысле (в линейной оболочке системы над полем действительных чисел). Система неприводима тогда и только тогда, когда проста.

2) Для любого

Существует единственный элемент такой, что

3) Для каждого ненулевого существует единственный такой, что причем

Кроме того,

где ( , ) - скалярное произведение, индуцированное формой Киллинга.

4) Если ортогональны относительно формы Кпллинга и

Базис корневой системы наз. также системой простых корней алгебры

Пусть - система положительных корней относительно данного базиса и пусть Тогда элементы

составляют базис алгебры наз. базисом К а р т а н а. С другой стороны, элементы

составляют систему образующих алгебры причем определяющие соотношения имеют следующий вид:

Из свойства 4) следует равенство

где Элементы можно выбрать таким образом, чтобы

где р - наибольшее целое число такое, что Соответствующий базис Картана наз. базисом Ш е в а л л е. Структурные константы алгебры в этом базисе являются целыми, что позволяет связать с алгебры Ли и алгебраич. группы (см. Шевалле группа).над полями произвольной характеристики. Если то линейная оболочка над векторов

является компактной вещественной формой алгебры

Ли п. а. определяется с точностью до изоморфизма своей подалгеброй Картана и соответствующей корневой системой. Точнее, если - Ли п. а. над k, - их подалгебры Картана, - соответствующие корневые системы, то всякий изоморфизм индуцирующий изоморфизм корневых систем продолжается до изоморфизма С другой стороны, любая приведенная корневая система может быть реализована как корневая система нек-рой Ли п. а. Таким образом, классификация Ли п. а. (соответственно простых неабелевых алгебр Ли) над алгебраически замкнутым полем kпо существу совпадает с классификацией приведенных корневых систем (соответственно неприводимых приведенных корневых систем).

Простые алгебры Ли, отвечающие корневым системам типов А - D, наз. классическими и имеют следующий вид.

Тип - алгебра линейных преобразований пространства kⁿ⁺¹ со следом 0;

Тип - алгебра линейных преобразований пространства k²ⁿ⁺¹, кососимметрических относительно заданной невырожденной симметрической билинейной формы;

Тип - алгебра линейных преобразований пространства k²ⁿ, кососимметрических относительно заданной невырожденной кососимметрической билинейной формы;

Тип - алгебра линейных преобразований пространства k²ⁿ, кососимметрических относительно заданной невырожденной симметрической билинейной формы;

Простые алгебры Ли, отвечающие корневым системам типов E₆, E₇, Е ₈, F₄, G₂, наз. особыми, или исключительными (см. Ли особая алгебра).

Картана матрица Ли п. а. над алгебраическим замкнутым полем также определяет эту алгебру однозначно с точностью до изоморфизма. Матрицы Картана простых алгебр Ли имеют следующий вид:

Классификация расщепляемых Ли п. а. над произвольным полем kхарактеристики 0 (расщепляемой наз. Ли п. а. обладающая такой подалгеброй Картана что все характеристич. корни операторов ad X,лежат в k).выглядит аналогично случаю алгебраически замкнутого поля. А именно, каждой неприводимой приведенной корневой системе соответствует единственная расщепляемая Ли п. а. В частности, расщепляемые Ли п. а. типов А -D имеют указанный выше вид с той разницей, что в случаях Ви Dнужно рассматривать невырожденные симметрические билинейные формы индекса Витта п.

Проблема классификации произвольных Ли п. а. над kсводится к следующей задаче: перечислить с точностью до изоморфизма все k-формы т. е. такие k-подалгебры Здесь К - алгебраически замкнутое расширение поля k, а - заданная Ли п. а. над К. Решение этой задачи также можно получить в терминах корневых систем (см. Форма алгебраической группы). В случае, когда - классическая простая алгебра Ли над k(отличная от D₄), существует другой метод классификации k-форм в основанный на рассмотрении простых ассоциативных алгебр (см. [3]).

В случае, когда классификация Ли п. а. выглядит следующим образом (см. [6], [7],[8]). Всякая простая неабелева алгебра Ли над R либо является простой алгеброй Ли над (рассматриваемой как алгебра над ), либо есть вещественная форма простой алгебры Ли над Классификация вещественных форм

в простых классич. алгебрах Ли над С имеет следующий вид. "I. Тип

четно, - подалгебра элементов из сохраняющих нек-рую кватернионную структуру.

- подалгебра элементов из кососимметрических относительно невырожденной эрмитовой формы положительного индекса р, II. Тип

- алгебра линейных преобразований пространства кососимметрических относительно невырожденной симметрической билинейной формы положительного индекса р, III. Тип

- алгебра линейных преобразований пространства кососимметрических относительно невырожденной кососимметрической билинейной формы.

- подалгебра в состоящая из преобразований, сохраняющих нек-рую кватернионную структуру. IV. Тип

- алгебра линейных преобразований пространства кососимметрических относительно невырожденной билинейной симметрич. формы положительного индекса р,

-подалгебра в

состоящая из преобразований, сохраняющих нек-рую кватернионную структуру. Ли п. а. над полем были впервые рассмотрены в работах В. Киллинга [1], к-рый дал их классификацию, хотя в его доказательствах имелись пробелы, восполненные Э. Картаном [2]. Уже в работах В. Киллинга и Э. Картана появились корни алгебры Ля как характеристич. корни оператора ad X. Э. Картан дал также классификацию вещественных Л. п. а., установив глубокую связь между этими алгебрами и глобально симметрическими римановыми пространствами.

Лит.:[1] Killing W., "Math. Ann.", 1888, Bd 31, S. 252 - 90; 1889, Bd 3,3, S. 1 - 48, Bd 34, S. 57-122; 1890, Bd 36, S. 161-89; [2] С а г t a n E., CEuvres completes, pt. 1, t. 1, P., 1952, p. 137-287; [3] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [4] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [5] Стейнберг Р., Лекции о группах Шевалле, пер. с англ., М., 1975; [6] X е л г а с о н С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [7] Helgason S., Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, N. Y.- San Francisco - L., 1978; [8] Араки Ш., "Математика", 1966, т. 10, № 1, c. 90 - 126. А. Л. Онищик.