ПОДСТАНОВКА

ПОДСТАНОВКА элементов данного множества (матем.), замена каждого из его элементов а каким-либо другим элементом <р(д) из того же множества; при этом должны получаться все элементы исходного множества и каждый только один раз. Таким образом, понятие П. по существу совпадает с понятием взаимно однозначного отображения множества на себя (см. Взаимно однозначное соответствие), однако оно применяется большей частью к конечным множествам. Только этот случай и рассматривается ниже. Для П. принята запись

здесь под каждым из элементов данного множества написан соответствующий ему элемент. Так как свойства П. не зависят от природы элементов а, b, ..., с, то большей частью (во всяком случае -в учебных целях) используют целые числа 1, 2, ..., п, при этом в верхней строке они преимущественно записываются в своём естественном порядке; П. принимает вид

где ф₁, ф₂, ..., ф_n -те же числа 1, 2, ..., п, но записанные, возможно, в каком-либо ином порядке. Т. о., вторая строка П. образует перестановку ф₁, ф₂,...,ф_n из чисел 1, 2, ..., п. Различных П. из п элементов существует столько же, сколько и перестановок, т. е. п! = l*2*З*....n. Подстановка

оставляющая на месте все элементы, наз. единичной, или тождественной. Для каждой подстановки А существует обратная, т. е. такая, к-рая переводит фi в i; она обозначается через А^-1. Напр.,

Результат последовательного применения двух подстановок А ч В снова будет нек-рой подстановкой С: если А переводит i в фi, а В переводит фi в y, то С переводит i в yi. Подстановка С наз. произведением подстановок А и В, что записывается так: С = АВ. Напр. если

При умножении П. не выполняется закон коммутативности, т. е., вообще говоря, АВне=ВА; так, в том же примере

Легко видеть, что IА = AI = А, АА^-1 = = А^-1А = I, А (ВС) = (АВ) С (ассоциативный закон). Т. о., все П. из п элементов образуют группу, наз. симметрической группой степени п.

П., переставляющая местами только 2 элемента i и j, наз. транспозицией и обозначается так: (i,j), напр.

Любую П. можно разложить в произведение транспозиций. Число множителей при разложении разными способами данной П. в произведение транспозиций всегда будет либо чётным, либо нечётным. В соответствии с этим и П. наз. либо чётной, либо нечётной; напр., А = (1,3)(5,4)(5,1) - нечётная П. Чётность П. можно определить также по числу инверсий, т. е. по числу нарушений порядка в нижней строке П., если числа верхней строки расположены в их естественном порядке: чётность П. совпадает с чётностью числа инверсий; напр., в нижней строке подстановки А имеется 5 инверсий, т. е. случаев, когда большее число стоит раньше меньшего: (3,2), (3,1),(2,1), (5,1) и (5,4). Существует п!/2 чётных и п!/2 нечётных П. из п элементов.

П., циклически переставляющая данную группу элементов, а остальные элементы оставляющая на месте, наз. циклом. Число переставляемых элементов наз. длиной цикла. Напр., подстановка А есть цикл длины 4: она переводит 1 в 3, 3 в 5, 5 в 4, 4 в 1; коротко это записывается так: А = (1,3,5,4). Транспозиция есть цикл длины 2. Любую П. можно разложить в произведение независимых (т. е. не имеющих общих элементов) циклов. Напр.,

Термин "П." в интегральном исчислении означает замену переменной в подинтегральной функции.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М.- Л., 1971.