ПЛОЩАДЬ

ПЛОЩАДЬ, одна из основных величин, связанных с геометрич. фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Вычисление П. было уже в древности одной из важнейших задач практич. геометрии (разбивка земельных участков). За неск. столетий до нашей эры греч. учёные располагали точными правилами вычисления П., к-рые в "Нача-лах" Евклида облечены в форму теорем. При этом П. многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Для вычисления П. фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме исчерпывания метода.

Теория П. плоских фигур, ограниченных простыми (т. е. не пересекающими себя) контурами, может быть построена следующим образом. Рассматриваются всевозможные многоугольники, вписанные в фигуру F, и всевозможные многоугольники, описанные вокруг фигуры F. (Вычисление П. многоугольника сводится к вычислению П. равновеликого ему квадрата, к-рый может быть получен посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей.) Пусть {S<} - числовое множество П. вписанных в фигуру многоугольников, a {Sd} - числовое множество П. описанных вокруг фигуры многоугольников. Множество {Si} ограничено сверху (площадью любого описанного многоугольника), а множество {Sd} ограничено снизу (напр., числом нуль). Наименьшее из чисел S, ограничивающее сверху

множество {Si}, наз. нижней площадью фигуры F; а наибольшее из

сама фигура - квадрируемои фигурой. Для того чтобы плоская фигура была квадрируемои, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа е можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, разность Sd-Sf площадей к-рых была бы меньше Е.

Аналитически П. плоской фигуры может быть вычислена с помощью интегралов. Пусть фигура F -т. н. криволинейная трапеция (рис. 1) - ограничена графиком заданной на сегменте [а, b] непрерывной и неотрицательной функции f(x), отрезками прямых х = а и х = b и отрезком оси Ох между точками (а, 0) и (b, 0). П. такой фигуры может быть выражена интегралом

Рис. 1.

П. фигуры, ограниченной замкнутым контуром, к-рый встречается с параллелью к оси Оу не более чем в двух точках, может быть вычислена как разность П. двух фигур, подобных криволинейной трапеции. П. фигуры может быть выражена в виде двойного интеграла:

где интегрирование распространяется на часть плоскости, занятой фигурой.

Теория П. фигур, расположенных на кривой поверхности, может быть определена следующим образом. Пусть F -односвязная фигура на гладкой поверхности, ограниченная кусочно гладким контуром. Фигура F разбивается кусочно гладкими кривыми на конечное число частей Ф|, каждая из к-рых однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку Mi, принадлежащую части Ф( (рис. 2). Предел сумм площа-

Рис. 2.

дей этих проекций (если он существует), взятых по всем элементам разбиения, при условиях, что максимум диаметров этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек Mi, наз. площадью фигуры F. Фигура на поверхности, для к-рой этот предел существует, наз. квадрируемои. Квадрируемыми являются кусочно гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности. П. всей поверхности слагается из П. составляющих её частей. Аналитически П. фигуры F на поверхности, заданной уравнением z - f(x, у),

где функция f однозначна и имеет непрерывные частные производные, может быть выражена следующим образом

Здесь G - замкнутая область, являющаяся проекцией фигуры F на плоскость Оху, ds - элемент площади на поверхности.

Об обобщении понятия П. см. Мера множеств.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М.. 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1-2, М., 1970; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1-2, М., 1971-73.