ЛИ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

гладкое действие связной группы Ли Gна гладком многообразии М, т. е. гладкое (класса ) отображение . такое, что:

(е- единица группы G).

Ли г. п., удовлетворяющая также условию:

наз. эффективной.

Примеры Ли г. п. Любое гладкое линейное представление группы Ли Gв конечномерном векторном пространстве М;действие группы Ли Gна себе с помощью левых или правых сдвигов A(g, m) = gm или соответственно действие группы Ли Gна себе с помощью внутренних автоморфизмов

одно параметрическая группа преобразований, т. е. гладкое действие группы на многообразии М.

Наряду с определенными выше глобальными Ли г. п. рассматриваются также локальные Ли г. п., являвшиеся основным объектом классич. теории групп Ли [1]. При этом вместо Gрассматривается локальная группа Ли, т. е. окрестность Uединицы в нек-рой группе Ли, а вместо М - открытое подмножество

Если G - Ли г.п. на М, то, выбрав подходящие окрестность в G и открытое подмножество получают локальную Ли г. п. Обратный переход - от локальной Ли г. п. к глобальной (глобализация) - возможен не всегда. Однако если и Wдостаточно мало, то глобализация возможна (см. [2].).

Иногда рассматриваются Ли г. п. класса или С ^w (аналитические), т. е. предполагается принадлежность отображения Асоответствующему классу. Если Анепрерывно, то для его принадлежности классу C^k или С ^w достаточно, чтобы для любого преобразование многообразия Мпринадлежало этому классу (см. [3]). В частности, задание Ли г. п. G на М эквивалентно заданию непрерывного гомоморфизма в группу Diff Mдиффеоморфизмов многообразия М, снабженную естественной топологией.

Любой Ли г. п. соответствует гомоморфизм алгебры Ли группы Gв алгебру Ли Ф (М).гладких векторных полей на М, сопоставляющий элементу поле скоростей однопараметрич. группы преобразований

где - экспоненциальное отображение (см. [5]). Если Gэффективна, то гомоморфизм А _* инъективен. Для связной группы Gгомоморфизм А _* полностью определяет Ли г. п. Обратно, любому гомоморфизму отвечает локальная Ли г. п. [6]. Если все векторные поля из полны (т. е. их интегральные кривые x(t).определены для всех t), то существует глобальная Ли г. п. Gна М, для к-рой Достаточно потребовать, чтобы как алгебра Ли порождалась полными векторными полями; условие полноты автоматически выполнено, если Мкомпактно [4].

Если G - Ли г. п. многообразия М, то стационарная подгруппа для любой точки является замкнутой подгруппой Ли в G; ее называют также стабилизатором, или подгруппой изотропии, точки т. Соответствующая подалгебра Ли состоит из всех таких что А _* (Х) _т=0. Подалгебра непрерывно зависит от тв естественной топологии на множестве всех подалгебр в g [7]. Орбита точки тявляется погруженным подмногообразием в М, диффеоморфным G/G_m. Если G компактна, то все орбиты являются компактными вложенными подмногообразиями. Примеры невложенных орбит дает действие группы на торе

заданное формулой

где __ иррационально.

Ли г. п. наз. подобными, если существует такой диффеоморфизм что . Важной задачей теории групп преобразований является задача классификации Ли г. п. с точностью до подобия. В настоящее время (1982) она решена лишь в нек-рых частных случаях. Еще С. Ли [1] дал классификацию локальных Ли г. п. в областях пространства и с точностью до локального подобия. Частичная классификация проведена для Ли г. п. на трехмерных многообразиях. Хорошо изучены также компактные Ли г. п. О транзитивных Ли г. п. см. Однородное пространство.

Лит.:[1] Li e S., "Math. Ann.", 1880, Bd 16, S. 441-528; [2] M о s t о w G., "Ann. Math.", 1950, v. 52, p. 606 - 36; [3] Bochner S., Montgomery D., "Ann. Math.", 1945 v. 46, p. 685-94; [4] P a 1 a i s R., "Mem. Amer. Math. Soc." 1957, v. 22, p. 1 - 123; [5] З у л а н к е Р., В и н т г е н П. Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М. 1975; [6] П о н т р я г и н Л. С., Непрерывные группы, 3 изд. М., 1973; [7] Richardson R., в кн.: Proceedings of the conference on transformation groups, New Orleans, 1967, B.- [a. o.], 1968, p. 429-40; [8] Ч е б о т а р е в Н. Г., Теория групп Ли, М.- Л., 1940. В. В. Горбацевич.