АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ KТЕОРИЯ

- раздел алгебры, к-рый в основном занимается изучением К-функторов по существу - это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощенно, это - обобщение результатов о существовании и единственности (с точностью до автоморфизма) базиса векторного пространства и других общих теоретико-групповых фактов о линейных группах над полями. При переходе от поля к произвольному кольцу Rэти теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротен-дика и Уайтхеда в нек-ром смысле, являются мерой отклонения от их истинности. Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры возникают и в топологии. Векторное пространство можно рассматривать как частный случай векторного расслоения. Гомотопич. теория векторных расслоений и топологич. К-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. В А. К- т . широко используются теория колец, гомологич. алгебра, теория категорий и теория линейных групп.

А. K-т. имеет два различных историч. источника, оба лежащих в геометрии. Первый связан с нек-рыми топологич. препятствиями. Исходным пунктом было введение понятия Уайтхеда кручения, связанного с гомотоппч. эквивалентностью конечных комплексов и лежащего в группе Уайтхеда, являющейся нек-рой факторгруппой группы - целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы П.Следующий шаг связан с рассмотрением топологич. пространства X, доминируемого конечным комплексом, и его обобщенной эйлеровой характеристики лежащей в группе Вычисление групп Уайтхеда и L-групп, являющееся в принципе алгебраич. задачей о групповых кольцах, и было одной из первых целей А. К-т. К ₂ и другие высшие функторы имеют топологич. приложения такого же типа (напр., препятствие для деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия в изотонию лежит в нек-рой факторгруппе группы . Алгебраич. изучение группы Уайтхеда началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение структуры линейных групп над произвольными кольцами, в частности теория определителей над телами (см. [10]).

Второй источник А. К- т .- алгебраич. доказательство А. Гротендиком (A. Grothendieck) в 1957 теоремы Римана - Роха (см. [7]) и ее обобщений. В этом доказательстве был введен K-функтор К(Х).как группа значений универсальной аддитивной функции на когерентных пучках на гладком алгебраич. многообразии. Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений, Битта кольца классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Затем К-функтор был перенесен в топологию, где нашел многочисленные применения, сделав возможным решение многих недоступных ранее задач.

Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открывает новые перспективы в понимании старых проблем анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологии), теории представлений групп. Развитию А. K-т. для колец (начавшемуся с установления соответствия (аналогии) между проективными конечно порожденными модулями и векторными расслоениями) препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога понятия надстройки в топологии.

В 50 -60-х гг. 20 в. подверглись систематич. изучению проективные модули над конечными группами, была развита одна-из важнейших идей, лежащая в основе А. K-т.,- идея "стабилизации", состоящая, грубо говоря, в том, что общие закономерности проявляются более отчетливо при переходе к пределу по размерности рассматриваемых объектов (напр., линейных групп или проективных модулей). Были обнаружены связи А. K-т. с взаимности законами в теории алгебраич. чисел и алгебраич. функций, исследованы вопросы, связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраич. аналог Ватта теоремы периодичности - теория полиномиальных расширений.

Для кольца R с единицей группа Гротендика K₀(R).определяется как абелева группа, образующими к-рой служат классы изоморфных конечно порожденных проективных Я-модулей, с определяющими соотношениями

где - класс модулей, изоморфных модулю Р. Пусть - полная линейная группа над вложение - прямой предел групп - подгруппа в порожденная элементарными матрицами т. е. матрицами с элементом на г, ;'-м месте, и совпадающая с единичной матрицей на остальных местах. Тогда Е(R).совпадает с коммутантом группы СL(R). Факторгруппа GL(R)/E(R). обозначается через K₁(R).и наз. группой Уайтхеда. Наконец, группа Стейнберга при определяется в образующих соотношениями

Переходя к прямому пределу, получают группу и естественный гомоморфизм

при к-ром

Ядро ker обозначается через (группа Милнора). Оно совпадает с центром группы St(R). Таким образом, - функторы из категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из функторов K₀ и K₁ может быть охарактеризован как функтор, сопоставляющий конечно порожденному проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий нек-рым свойствам и универсальный относительно этих свойств. Такая "универсальная" характеризация позволяет определить аналог функторов K₀ и K₁ на "достаточно хороших" категориях. В частности, для категории нётеровых R-модулей получаются весьма близкие к K_i-(R) функторы G _i -(R).

Примеры групп K_i(R). Если R - тело, - его мультипликативная группа, то - группа целых чисел, - циклич. группа 2-го порядка. Если R - конечное поле, то K₂(R) = 0.

Важным результатом в А. K-т. является точная последовательность Майера- Вьеториса для декартова квадрата. Именно, если диаграмма -

декартов квадрат гомоморфизмов колец, в к-ром - эпиморфизм, то точна последовательность

причем, если также эпиморфизм, то последовательность дополняется членами

Если I - двусторонний идеал кольца R, то последовательность Майера - Вьеториса позволяет (см. [8]) определить относительные функторы K_i -(R, I), дающие точную последовательность

Достаточно полно исследован вопрос о поведении K- функторов при переходе от кольца R к его локалнза-цпл по центральной мультипликативно замкнутой системе. В частности, при соответствующих условиях на кольцо Rдля функтора С ₀(R) получена точная последовательность

Если кольцо Rкоммутативно, то группа K₀(R).превращается в кольцо с единицей путем введения умножения, индуцируемого тензорным произведением модулей. Существует расщепляющийся эпиморфизм кольца на кольцо непрерывных целочисленных функций (кольцо рассматривается в дискретной топологии) на спектре кольца R. Ядро этого гомоморфизма обозначается Известно, что . является нильрадикалом кольца K₀(R), причем если R- нётеро-во и размерность его максимального спектра равна то Если же эта размерность не превосходит 1, то группа изоморфна Пикара группеPic (K).

Для колец арифметич. типа существуют теоремы конечности для функторов K_i (R).и G_i (R). Именно, если Аявляется кольцом целых чисел или кольцом многочленов над конечным полем, a Rявляется R-порядком и одновременно Я-решеткой в полупростой конечномерной алгебре над полем частных кольца А, то группы конечно порождены (i= 0, 1).

Развитию А. А-т. способствовали исследования по проблеме конгруэнц-подгрупп: каждая ли подгруппа конечного индекса в арифметич. группе содержит некоторую конгруэнц-подгруппу? Этот вопрос тесно связан с проблемой вычисления группы для идеалов

Из результатов о стабильном строении проективных модулей следует отметить теорему: если R - коммутативное нётерово кольцо, максимальный спектр к-рого имеет размерность d,a A - конечномерная R-алгебра, то любой конечно порожденный проективный А-модуль Ртакой, что

для всех максимальных идеалов ткольца Rизоморфен (здесь - локализация модуля ). Другой важной теоремой о строении проективных модулей является теорема о сокращении: пусть кольца R, А и модуль Р - такие же, как выше, Q-конечно порожденный проективный А-модуль и М, N - произвольные А-модули. Тогда из

следует

С вопросами стабильного строения проективных модулей тесно связан стабильный ранг кольца R. Напр., если R - коммутативное кольцо стабильного ранга меньше d, то

В связи с теорией индуцированных представлений групп изучались функторы K_i от групповых колец. Один из результатов этого направления: если G - конечная группа порядка пи С - семейство циклич. подгрупп группы G, то показатель подгруппы

в группе при i=0, 1, 2 делит п.

О полиномиальных расширениях колец известно, что если R - регулярное кольцо, то

Кроме того, для произвольного кольца R точна последовательность

Одним из результатов о вычислении функтора является теорема Мацумото: если R - поле, то группа задается образующими (взаимно однозначно сопоставленным всем ненулевым элементам аполя R) и соотношениями при

В 70-х гг. 20 в. появились многочисленные варианты определения функторов при Было доказано [9] совпадение этих теорий, дающих классич. функторы при В ряде случаев найдены эффективные средства вычисления высших K-групп. Начала развиваться унитарная K-теория (см. [9], т. 3), изучающая аналогичные вопросы для модулей, на к-рых определены квадратичные и билинейные формы.

Лит.:[1] Атья М., Лекции по А-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] Bass H., Topics in algebraic A-theory. Tata institute of Fundamental research, Bombay, 1966; [3] Басс Х., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973; [4] Swan R. G., Algebraic K-theory, В.-Heidelberg-N.Y., 1968; [51 Swan Д. G., Evans E. G., A'-theory finite groups and orders, B.-Heidelberg-N.Y., 1970; [6] Algebraic A'-theory and its Geometric Applications, B.-Heidelberg-N.Y., 1969; [7] Maнин Ю. И., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 5, с. 3-86; [8] Ми л нор Дж., Введение в алгебраическую А-теорию. пер. с англ., М., 1974; [9] Algebraic K-theory, v. I-III, В.- Heidelberg-N.Y., 1973; [10] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. С англ., М., 1969. А. В. Михалев, А. И. Немытое,