УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, линейное преобразование   c комплексными коэффициентами, сохраняющее неизменной сумму квадратов модулей преобразуемых величин

У. п. представляет собой аналог (точнее, обобщение) поворота в евклидовой плоскости или вращения в трёхмерном евклидовом пространстве на случай n-мерного комплексного векторного пространства, т. к. оно сохраняет для преоб-

разуемого вектора х с компонентами х₁, х₂, ..., х_п его длину, равную 

Коэффициенты У. п. образуют унитарную матрицу. Совокупность У. п. и-мер-ного комплексного векторного пространства является группой относительно умножения преобразований. В случае, когда коэффициенты u_ij и преобразуемые величины х_jдействительны, У. п. является ортогональным преобразованием n-мерного действительного векторного пространства.

- линейное преобразование Аунитарного пространства L, сохраняющее скалярное произведение векторов, т. е. такое, что для любых векторов хи . из Lимеет место равенство

( Ах, Ау) =( х, у).

У. п. сохраняет, в частности, длину вектора. Обратно, если линейное преобразование унитарного пространства сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно. Собственные значения У. п. равны по модулю 1; собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Линейное преобразование Аконечномерного унитарного пространства Lявляется У. п. тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих условий:
1) в любом ортонормированием базисе преобразованию Асоответствует унитарная матрица;
2) Апереводит любой ортонормированный базис в ортопормированный;
3) в Lсуществует ортонормированный базис, состоящий из собственных для Авекторов, причем соответствующая Ав этом базисе диагональная матрица имеет диагональные элементы, равные по модулю 1.
У. п. данного унитарного пространства образуют относительно умножения преобразований группу (наз. унитарной группой).
A. Л. Онищик.