ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригономет-рич. функции. Шести основным тригоно-метрич. функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х ("арксинус х") - функция, обратная sin х; 2) Arc cos x ("арккосинус х") - функция, обратная cos х; 3) Arc tg х ("арктангенс х")-функция, обратная tg x; 4) Arc ctg x ("арккотангенс х") - функция, обратная ctg x; 5) Arc sec х ("арксеканс х") - функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x ("арккосеканс я") - функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, напр., х = = Arc sin а есть любое решение уравнения sin х = а, т. е. sin Arc sin а = а. Функции Arc sin х и Arc cos x определены (в действительной области) для |х|<=1, функции Arc tg х и Arc ctg x - для всех действительных х, а функции Arc sec x и Arc cosec x - для |х|>=1; две последние функции малоупотребительны.
Так как тригонометрич. функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin x, arc cos x, . . ., arc cosec x. Именно, arc sin x есть та ветвь функции Arc sin x, для которой -ПИ/2<=arc sin x <= Пи/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg x a arc ctg x определяются из условий: 0 <= arc cos х <= Пи, - Пи/2 < arc tg x < < Пи/2, 0 <arc ctg x < я. На рис. изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos х, у = Arc tg x, y= Arc ctg x‘, главные ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin x, ... легко выражаются через arc sin x, ••., напр.
Известные соотношения между тригонометрич. функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., напр, из формулы
эти ряды сходятся для -1<=х<=1. О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, напр.
Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.
функции, обратные тригонометрическим функциям. Обычно рассматривают следующие О. т. ф.: Arcsin х (арксинус х) - ф-ция, обратная sin х; Arccos х (арккосинус х) ф-ция, обратная cos Л; Arctg х (арктангенс х) ф-ция, обратная tg х; Arcctg х (арккотангенс х) ф-ция, обратная ctg х. Вследствие периодичности тригонометрич. ф-ций О. т. ф. многозначны. Из всех возможных значений каждой О. т. ф. выделяются гл. значения, или гл. ветви; они обозначаются: arcsin x, arccos x, arctg х, arcctg x (на рис. выделены жирными линиями).
общее назв. функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса, каждая из к-рых выражает величину дуги (или угла), соответствующей данному значению х тригонометрич. функции, название к-рой получается отбрасыванием приставки "арк". Напр., арксинус (обозначается: arcsin х) обозначает дугу, синус к-рой равен х.