Значение слова "ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ" найдено в 7 источниках
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).
Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО=r, угол МСО=ω.
Из треугольника MCO следует, что
Это выражение можно представить:
(в случае I) или
(в случае II).
Полагая cosω = x, R/ρ или ρ/R равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через
, где α < 1.
Во многих вопросах математической физики приходится 1/r разлагать в ряд.Этот вопрос приводится к разложению функции 
по степеням α. Выполнив это разложение, получим:
по степеням α. Выполнив это разложение, получим:
где P0 = 1, P1 = x, P2 = 3/2x2-1/2, P3 = 5/2x3-3/2x,... Pn =
Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.
При помощи строки Лагранжа доказывается, что Рn(x) есть n-ая производная целой функции:
(x2-1)n/1∙2∙3∙...n∙2n.
Уравнение Рn(x) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.
Функция Рn(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению:
(1-x2)y"-2xy' + n(n + 1)y = 0.
Между тремя последовательными функциями Pn, Pn-1 и Pn-2 имеет место соотношение:
nPn - (2n-1)xPn-1 + (n-1)Pn-2 = 0.
Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte" (изд. доктора F. Grube'a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881).
Д. С.
найдено в "Большой Советской энциклопедии"
однородные функции un степени п от прямоугольных координат х, у, z, удовлетворяющие уравнению Лапласа:
Существуют 2n + 1 линейно-независимых однородных многочленов от х, у, z целой положительной степени n, являющихся Ш. ф.: их линейная комбинация представляет общий вид такого многочлена степени n. Так, например,
uo= a, u1 = ax + by + cz;
u2 = a (x2 — z2) + b (y2 — z2) + cxy + dyz + ezx,
где a, b, с, d, e — произвольные постоянные, представляют общий вид однородных многочленов степеней 0, 1, 2, являющихся Ш.ф. Если вместо прямоугольных координат х, у, z ввести Сферические координаты r, θ, φ, то Ш. ф. выражаются через Сферические функции Yп (θ,φ) по формуле
un = rn Yn (θ,φ).
Каждой Ш. ф. un степени n соответствует Ш. ф. r ―2n―1 степени — n—1.
Ш. ф. применяются при нахождении общего решения уравнения Лапласа и при решении задач математической физики для областей, ограниченных сферическими поверхностями.
Лит. см. при статье Сферические функции.
найдено в "Энциклопедическом словаре"
Шаровые функции — представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II). Введем обозначения: МС=R, СО=ρ, МО= r , угол МСО=ω. Из треугольника M СО следует, что Это выражение можно представить: (в случае I) или (в случае II). Полагая cosω = x, R /ρ или ρ/R равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через , где α < 1. Во многих вопросах математической физики приходится 1/r разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции по степеням α. Выполнив это разложение, получим: где P0 = 1, P1 = x, P2 = 3/2x2-1/2, P3 = 5/2x3-3/2x,... Pn = Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями. При помощи строки Лагранжа доказывается, что Р n(x) есть n -ая производная целой функции: (x2-1)n/1∙2∙3∙...n∙2n. Уравнение Р n(x) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между - 1 и +1. Функция Р n(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению: (1-x2)y"-2xy‘ + n(n + 1)y = 0. Между тремя последовательными функциями Pn, Pn-1 и Pn-2 имеет место соотношение: nPn — (2n-1)xPn-1 + (n-1)Pn-2 = 0. Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte" (изд. доктора F. Grube‘a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881). Д. С.
найдено в "Современном энциклопедическом словаре"
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ, то же, что сферические функции.
найдено в "Естествознании. Энциклопедическом словаре"
то же, что сферические функции.
найдено в "Энциклопедическом словаре естествознания"
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ , то же, что сферические функции.
найдено в "Большом энциклопедическом словаре"
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ, то же, что сферические функции.