ЛИ ЛОКАЛЬНАЯ АЛГЕБРА

алгебра Ли, элементами к-рой являются гладкие функции на гладком вещественном многообразии М(или, более общо, гладкие сечения гладкого векторного расслоения Е над М), а операция коммутирования непрерывна в -топологии и носит локальный характер, т. е.

где supp f - носитель функции (сечения) f. Известна полная классификация Ли л. а. для расслоений Ес одномерным слоем (в частности, для обычных функций) (см. [3]). А именно, операция коммутирования в этом случае является бидифференциальным оператором первого порядка, т. е. имеет вид

где - частные производные по локальным координатам на М. Далее, пусть Р(х) - подпространство в касательном пространстве Т _Х М к многообразию Мв точке порожденное векторами

Тогда распределение интегрируемо, так что многообразие Мраспадается в объединение интегральных многообразий. Операция коммутирования перестановочна с ограничением на M_a, и возникающие таким образом структуры Ли л. _a. транзитивны в том смысле, что Р(х).для любой точки хсовпадает с касательным пространством к интегральному многообразию М _a, содержащему х.

Каждая транзитивная Ли л. а. локально определяется размерностью подстилающего многообразия с точностью до замены переменных в базе и слое. Для четномерного многообразия она изоморфна алгебре скобок Пуассона, а для нечетномерных - алгебре скобок Лагранжа (см. [1]).

Примером Ли л. а., иллюстрирующим общую теорию, является структура алгебры Ли в , в к-рой

где - структурные константы нек-рой n-мерной алгебры Ли (см. [2]). В этом случае многообразие естественно отождествляется с пространством двойственным к а разбиение на подмногообразия М _a, совпадает с разбиением на орбиты коприсоединенного представления.

Ли л. а. возникают как алгебры Ли нек-рых бесконечномерных групп Ли. В частности, они являются алгебрами Ли для дифференциальных групп в смысле Дж. Ритта [4]. Из работы [6] вытекает описание всех Ли л. а., связанных с расслоениями на прямой с двумерным слоем. Все такие Ли л. а. являются расширениями алгебры скобок Лагранжа (которая в этом случае совпадает с алгеброй Ли векторных полей) с помощью тривиальной Ли л. а. с одномерным слоем. Анонсирована [6] классификация "простых" Ли л. а.

Лит.:[1] А р н о л ь д В. И., Математические методы классической физики, М., 1974; [2] Б е р е з и н Ф. А., "Функциональный анализ и его приложения", 1967, т. 1, в. 2, с. 1-14; [3] К и р и л л о в А. А., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 4, с.57-76; [4] R i t t J. F., "Ann. Math.", 1950, v. 52 p. 708-26; [5] е г о же, там же, 1951, v. 53, p. 491 - 519; [6] Weisfeiler В., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1978, v. 84 № 1, p. 127 - 30. А. А. Кириллов.