ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО

ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО, 1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей

a₁<=a₂<=...<=a_n и

b₁<=b₂<=...<=b_n

оно имеет вид:

а в интегральной форме - вид:

где f(x) >= 0, g(x) >= О и обе функции либо убывают, либо возрастают. Ч. н. установлено П. Л. Чебышевым (1882). 2) Неравенство, дающее оценку вероятности того, что отклонение случайной величины от её математич. ожидания превзойдёт нек-рую заданную границу. Пусть e - какая-либо случайная величина, Ee = а - её математич. ожидание, а De= g² - её дисперсия. Тогда Ч. н. утверждает, что вероятность неравенстване | e-a|>=kg не превосходит величины 1/k². Если e - сумма независимых случайных величин, то при нек-рых дополнит, ограничениях оценка l/k² может быть заменена оценкой 2e^-k2/4, убывающей с ростом k значительно быстрее.

Своё название Ч. н. получило по имени П. Л. Чебышева, который с его помощью установил (1867) весьма широкие условия приложимости закона больших чисел к суммам независимых случайных величин. См. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей.

неравенство Бьенеме - Чебышева,- неравенство теории вероятностей, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от ее математич. ожидания через ее дисперсию. Пусть - нек-рая случайная величина с конечными математич. ожиданием и дисперсией Ч. н. состоит в том, что для любого вероятность события

не превосходит или

Это неравенство было независимым образом открыто И. Бьенеме (I. Bienayme, 1853) и П. Л. Чебышевым (1866). В современной литературе это неравенство чаще наз. Ч. н., возможно, и потому, что С именем П. Л. Чебышева связано использование его при доказательстве обобщения больших чисел закона (теоремы Чебышева). Ч. н. является представителем целого класса однотипных неравенств, простейшее из к-рых утверждает, что для неотрицательной случайной величины Xс конечным математич. ожиданием

(иногда наз. неравенством Маркова). Из этого неравенства вытекают неравенства для произвольных случайных величин, зависящие от моментов:

(при r=2 и само Ч. н.), а также более общее неравенство

для неотрицательной четной неубывающей при положительных значениях хфункции f(x). Неравенство (3) указывает путь получения новых неравенств того же типа, напр.экспоненциального неравенства:

Сложилась традиция относить все эти неравенства к чебышевскому типу и даже наз. Ч. н. Существует общий принцип получения Ч. н. при определенных условиях на моменты, основанный на использовании системы многочленов Чебышева (см. [4]). Для произвольных случайных величин Ч. н. дают точные, неулучшаемые оценки, однако в нек-рых конкретных ситуациях эти оценки можно уточнить. Напр., если Xимеет унимодальное распределение с модой совпадающей с математич. ожиданием, то справедливо неравенство Гаусса:
где
Значение Ч. п. в теории вероятностен определяется в конечном счете не его точностью, а простотой и универсальностью. Большую роль Ч. н. и ого видоизменения сыграли применительно к суммам случайных величин при доказательстве различных форм закона больших чисел и закона повторного логарифма. Ч. н. для сумм независимых случайных величия было подвергнуто обобщению и уточнению в двух главных направлениях. Первое из них связано с переходом от Ч. н.

к значительно более сильному неравенству

к-рое было доказано А. II. Колмогоровым и использовано им при доказательстве больших чисел усиленного закона (см. Колмогорова неравенство).
Второе направление посвящено замене степенной оценки в Ч. н. на экспоненциально убывающую и приводит к неравенствам Бернштейна- Колмогорова:

где

(см. Берпштейна неравенство). Такие уточнения Ч. н. получаются при дополнительных условиях ограниченности слагаемых X_i.
Получены многомерные аналоги нек-рых из указанных здесь неравенств (см. [5]).

Лит.:[1] Чебышев И. Л., лМатем. сб.

для конечных монотонных последовательностей

- неравенство

Ч. - неравенство

где f(x)и g(x)либо возрастают, либо убывают. Неравенства установлены П. Л. Чебышевым (1882.)

В. Н. Битюцков.