ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, один из методов математич. анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математич. задачи. О. и. имеет особенно важное значение в механике, автоматике, электротехнике и др. В основе метода О. и. лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) нек-рыми др. функциями (изображениями), получаемыми из первых по определённым правилам (обычно, изображение - функция, получаемая из данной Лапласа преобразованием). При такой замене оператор дифференцирования р = -71 интерпретируется как алгеб-

раич. величина, вследствие чего интегрирование нек-рых классов линейных дифференциальных уравнений и решение ряда др. задач математич. анализа сводится к решению более простых алгебраич. задач. Так, решение линейного дифференциального уравнения сводится к более простой, вообще говоря, задаче решения алгебраич. уравнения; из алгеб-раич. уравнения находят изображение решения данного уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение. Операции нахождения изображения по оригиналу (и наоборот) облегчаются наличием обширных таблиц "оригинал - изображение".

Для развития О. и. большое значение имели работы англ, учёного О. Хевисай-да. Он предложил формальные правила

обращения с оператором р =d/dt и некоторыми функциями от этого оператора. Пользуясь О. и., Хевисайд решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако О. и. не получило в трудах Хевисайда математич. обоснования, мн. его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование О. и. было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция f(f), 0<=t<+бесконечность, переходит в функцию F(z), z = x + iy:

то производная

и интеграл

Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную г, а интегрирование сводится к делению на г. В след, краткой таблице даны (при t > 0) примеры соответствия

Пример. Найти методом О. и. решение у = f(f) линейного дифференциального уравнения

при начальных условиях

y₀=f(0)=0 и У₀‘=f‘(0)=0.

Переходя от искомой функции f(t) и данной функции 2e^4tк их изображениям F(z) и 2/(z - 4) (см. табл.) и применяя формулу (*) для изображения производных, получим

Другой путь обоснования О. и. предложен польск. математиком Я. Микусиньским (1953), опиравшимся на понятие функционального кольца. Для обоснования методов О. и. можно воспользоваться теорией обобщённых функций. Имеются различные обобщения О. и. Существует многомерное О. и., основанное на теории кратных интегралов. Созданы О. и. дифференциальных операторов, отличных от оператора р = (d/dt), напр.

В = (d/dt)t(d/dt). Эти теории также основываются на изучении функциональных колец, в к-рых надлежащим образом определено понятие произведения функций. Лит.: Д и т к и н В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному исчислению, М., 1965; их же, Операционное исчисление, М., 1966; М и к у с и н-с к и и Я., Операционное исчисление, пер. с польск., М., 1956; Ш т о к а л о И. 3., Операционное исчисление, К., 1972. В. А. Диткин.