ИЗОТОПИЯ

- гомотопия топологич. пространства Xпо топологич. пространству Y: f_t:. (здесь и всюду далее в к-рой при любом tотображение f_t является гомеоморфизмом Xна нек-рое подмножество Y. Эквивалентно, И.- послойное непрерывное отображение f : такое, что f гомеоморфно переводит слой на подмножество слоя Yt. И. F_t:при к-рой F_t(Y)=Y для любого t, наз. изотопией пространства Y. Накрывающей (или объемлющей) изотопией для И. f_t:наз. И. пространства F_t.такая, что F_t|_x = f_t. Два вложения f₀, f₁: XY пространства Xв пространство Yназ. изотопными, если существует накрывающая И. Ft: для к-рой F₀=id, F₁(f₀(X)) = f₁(X). Пространства X, Y наз. изотопически эквивалентными, если существуют вложения f :и g:такие, что композиции gof:и fog:изотопны тождественному отображению.Изотопически эквивалентные пространства наз. также (по аналогии с гомотопич. типом) пространствами одного и того же изотопического типа. Если пространства гомеоморфны, то они изотопически эквивалентны, однако есть негомеоморфные пространства одного изотопич. типа, напр. re-мерный шар и такой же шар с приклеенным к его поверхности (своим концом) отрезком. Любой гомотопич. инвариант является изотопич. инвариантом, но существуют изотопич. инварианты, напр, размерность, не являющиеся гомотопическими.

Основным вопросом в теории И. является задача продолжения изотопии, т. е. вопрос о существовании И. F_t, накрывающей данную И. f_t. Этот вопрос, равно как и общая задача нахождения полной системы изотопич. инвариантов для вложений, чаще всего рассматривается в категории топологич. многообразий и ее подкатегориях кусочно линейных и дифференцируемых многообразий.

Топологич. И. f_t многообразия M^k по многообразию М ^п,. продолжается до накрывающей И. F_t: М ^п->М ^п тогда и только тогда, когда соответствующее прослойное вложение является локально плоским, здесь [а, b]- подотрезок интервала (0, 1). Если и то И. f_t накрывается И. F_t при условии, что вложение является локально плоским для любого В коразмерности 2 это неверно (пример - "затягивание узелка" на окружности в Е ³), и потому для существования накрывающей И. необходимы дополнительные гомотопич. предположения. Достаточно близкие локально плоские вложе::ия при изотопны.

Теорема о продолжении кусочно линейной И. в общем случае формулируется аналогично (при естественном условии, что соответствующее послойное вложение является локально плоским в кусочно линейном смысле). Если то кусочно линейная И. продолжается всегда, так как в этих коразмерностях кусочно линейное вложение является локально плоским в кусочно линейном смысле. Для п-k=2 или 1 необходимо дополнительное предположение, что вложения ft(M^k)Mⁿ являются в кусочно линейном смысле локально плоскими, поскольку в этих коразмерностях кусочно линейное вложение может не быть локально плоским даже в топологич. смысле, напр, конус над узлом.

Дифференцируемая И. всегда продолжается до дифференцируемой накрывающей И.

Задача нахождения полной системы изотопич. M^k в М ^п решена только в небольшом числе частных случаев. Так, всякое локально плоское (в топологич. смысле) вложение сфер при или при п-k=l, изотопно стандартному, а если п-k=2,то локально плоская сфера S^n-2 в Sⁿ тогда и только тогда изотопна стандартной, когда дополнение имеет гомотопич. тип окружности (теоремы Столлингса и Брауна). В коразмерности 2 могут существовать неизотопные узлы. Точно так же формулируется теорема Зимана - Столлингса о кусочно линейной И. (незаузленности) кусочно линейных сфер.

Инвариант кусочно линейной И. является более тонким по сравнению с топологич. И. Так, вопрос о топологич. изотопности произвольного гомеоморфизма сферы Sⁿ тождественному решен в положительном смысле для при этом же ограничении доказана изотопность любых двух гомеоморфизмов сферы Sⁿ на себя, сохраняющих ориентацию. В кусочно линейной ситуации эти утверждения получаются элементарными методами без всяких ограничений. Достаточно близкие гомеоморфизмы топологич. многообразия на себя изотопны, однако существуют как угодно близкие кусочно линейно неизотопныё кусочно линейные гомеоморфизмы кусочно линейных многообразий, напр, n-мерных торов при

В отличие от топологического и кусочно линейного случая далеко не всегда два диффеоморфизма n-мерной сферы на себя дифференцируемо изотопны. Изотопич. классы дифференцируемых вложений сфер S^k в Sⁿ подробно изучены для любого Если то существует нек-рое топологич. пространство C_q, q=п-k такое, что гомотопич. группы p_k( С _q). находятся во взаимно однозначном Соответствии с классами вложений S^k в Sⁿ;при этом p_k (С _q)=0 для k<2q-3, а p_2q-3( С _q). есть Z или Z₂ в зависимости от того, является ли qчетным или нечетным числом. Таким образом, k-мерная стандартная сфера S^k, вложенная в Sⁿ, может, при заузливаться в дифференцируемом смысле, т. е. существуют такие вложения к-рые дифференцируемо не изотопны стандартному. Эти узлы наз. узлами Хефлигера. Если к = п-2, то дифференцируемые узлы могут заузливаться в топологич. смысле, однако их намного больше, чем топологических или кусочно линейных; когда пнечетно, имеется их полная классификация. Если k=п-1, п неравно 4, то любое дифференцируемое вложение дифференцируемо изотопно стандартному вложению.

Тот факт, что существуют диффеоморфизмы сферы Sⁿ на себя, неизотопные тождественному, приводит к существованию нетривиальных дифференциальных структур на сферах размерности п+1. Хотя всякий гомеоморфизм сферы Sⁿ, п неравно 4, на себя аппроксимируется диффеоморфизмом, не всегда близкие диффеоморфизмы сферы дифференцируемо изотопны, т. е. диффеоморфизм сферы на себя можно как угодно малым возмущением превратить в неизотопный ему.

Лит.:[1] Келдыш Л. В., Топологические вложения в евклидово пространство, М., 1966 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 81); [2] Рурк К., Сандерсон Б., Введение в кусочно линейную топологию, пер. с англ., М., 1974; [3] Новиков С. П., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1965, т. 29, № 1, с. 71 - 96; [4] Чернявский А. В., "Матем. сб.", 1969, т. 79, № 3, с. 307-56; [5] Rushing Т., Topological Embeddings, N.Y.-L., 1972; [6] Kirby R., Siebenmann L.,Foundational essays on topological manifolds, smootings and triangulations, N.Y., 1977.

M. А. Штонъко.