ЛИ PАЛГЕБРА

ограниченная алгебра Ли,- алгебра Lнад полем kхарактеристики р>0 (или, более общо, над кольцом простой характеристики р>0), снабженная р-отображением таким, что выполняются следующие соотношения:

Здесь - внутреннее дифференцирование алгебры L, определяемое элементом (оператор присоединенного представления), а элемент из L, являющийся линейной комбинацией одночленов Ли

с x_i=х или у для всех i=l, . . ., р -1.

Типичный пример Ли р-а. получается, если рассмотреть произвольную ассоциативную алгебру Анад kкак универсальную алгебру с двумя производными операциями:

В частности, свойство является прямым следствием тождества

при п=р, когда Так как всякая

Ли алгебра вложима в подходящим образом выбранную ассоциативную алгебру А с операциями i) - ii) ( теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта), то часто х ^[p] заменяют, с нек-рой долей двусмысленности, на х ^р.

Для всякой Ли p-a.L существует р-универсальная (ограниченная универсальная) обертывающая ассоциативная алгебрa U_p(L). Если dim_kL=n, то dim_kU_p(L)=pⁿ. Это же замечание показывает, что для произвольной алгебры Ли имеет смысл говорить о ее наименьшей р-оболочке, или о р-замыкании.

Обычная подалгебра Ли М(идеал Ли) в Lназ. р-п одалгеброй (р-и д е а л о м), если для всех Гомоморфизм Ли р-а. лаз. р-гомоморфизмом, коль скоро

Если при этом К - линейная Ли р-а. над k, то говорят также о р-представлении алгебры L.

Задание р-структуры на алгебре Ли L с базисом {е ₁ е ₂, . ..}и нулевым центром Z(L) единственно и вполне определяется заданием образов базисных элементов е _i. С другой стороны, коммутативная алгебра Ли L, для к-рой всегда, очевидно, снабжается р-структурой путем рассмотрения пары где - произвольное р-полулинейное отображение

Над алгебраически замкнутым полем kвсякая конечномерная коммутативная Ли р-а. Lразлагается в прямую сумму тора

и нильпотентной подалгебры L₁ с тождеством

для достаточно большого т(см. [1]).

Важным источником Ли р-а. служат теория алгебраич. групп, теория формальных групп и теория несепарабельных полей (см. [2]). Алгебра Ли Der_k(A).все дифференцирований произвольной алгебры Аявляется р-подалгеброй в End_k(4). Если, в частности,

натянута на дифференцирования с правилом коммутирования

и р-структурой

Этот пример простой Ли р-а. послужил поводом к поискам других простых алгебр. Все известные к настоящему времени (1982) конечномерные простые Ли р-а. над алгебраически замкнутым полем kхарактеристики р > 5 исчерпываются алгебрами классич. типа (вместе с пятью исключительными). Это

и алгебрами картановского типа Размерности последних четырех алгебр равны соответственно и

Все эти алгебры определены над простым подполем поля k, так что неизоморфных простых р-алгебр фиксированной размерности - конечное число (как правило, О, 1 или 2). Недоказанная пока (1982) гипотеза, возникшая в связи с работой [3], заключается в том, что других конечномерных простых Ли р-а. в этом случае не существует. При р=2, 3, 5, однако, ситуация заведомо сложнее.

Лит.:[1] Джекобсон Н..,. Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] S е l i g m a n G.. В.., Modular Lie algebras, В.- Hdlb.- N. Y., 1967; [3] К о с т р и к и н А. И., Шафаревич И. Р., "Докл. АН СССР", 1966. т. 168, с. 740 - 42: [4] Zassenhaus H., "Harab- Abh.", 1939, Bd 13, S. 1-100.

А. И. Кострикин.