ПРОСТОЕ ЧИСЛО
< π(x) < 
при любых x ≥ 2 [т. е., что π(х) растет, как функция 
Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения π(х) к 
ПРОСТОЕ ЧИСЛО, целое положительное число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Понятие П. ч. является основным при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел; именно, основная теорема теории делимости устанавливает, что всякое целое положительное число, кроме 1, единств. образом разлагается в произведении П. ч. (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание). П. ч. бесконечно много (это предложение было известно ещё др.-греч. математикам, его доказательство имеется в 9-й книге "Начал" Евклида). Вопросы делимости натуральных чисел, а следовательно, вопросы, связанные с П. ч., имеют важное значение при изучении групп; в частности, строение группы с конечным числом элементов тесно связано с тем, каким образом это число элементов (порядок группы) разлагается на простые множители. В теории алгебраических чисел рассматриваются вопросы делимости целых алгебраич. чисел; понятия П. ч. оказалось недостаточным для построения теории делимости - это привело к созданию понятия идеала. П. Г. Л. Дирихле в 1837 установил, что с арифметич. прогрессии а + bх при x =1,2, ... с целыми взаимно простыми а и b содержится бесконечно много П. ч.
Выяснение распределения П. ч. в натуральном ряде чисел является весьма трудной задачей чисел теории. Она ставится как изучение асимптотич. поведения функции Пи(х), обозначающей число П. ч., не превосходящих положит. числа х. Первые результаты в этом направлении принадлежат П. Л. Чебышеву, к-рый в 1850 доказал, что имеются такие две
Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотич. закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, III. Ла Bалле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения
В дальнейшем значительные усилия математиков направлялись на уточнение асимптотич. закона распределения П. ч. Вопросы распределения П. ч. изучаются и элементарными методами, и методами математич. анализа. Особенно плодотворным является метод, осн. на использовании тождества
(произведение распространяется на все П. ч. р = 2, 3, ...), впервые указанного Л. Эйлером; это тождество справедливо при всех комплексных s с вещественной частью, большей единицы. На основании этого тождества вопросы распределения П. ч. приводятся к изучению специальной функции - дзета-функции E(s), определяемой при Res>1 рядом
Эта функция использовалась в вопросах распределения П. ч. при вещественных s Чебышевым; Б. Риман указал на важность изучения Е(s) при комплексных значениях s. Риман высказал гипотезу о том, что все корни уравнения Е(s) = О, лежащие в правой полуплоскости, имеют вещественную часть, равную1/2. Эта гипотеза до настоящего времени (1975) не доказана; её доказательство дало бы весьма много в решении вопроса о распределении П. ч. Вопросы распределения П. ч. тесно связаны с Гольдбаха проблемой, с не решённой ещё проблемой "близнецов" и другими проблемами аналитич. теории чисел. Проблема "близнецов" состоит в том, чтобы узнать, конечно или бесконечно число П. ч., разнящихся на 2 (таких, напр., как 11 и 13). Таблицы П. ч., лежащих в пределах первых 11 млн. натуральных чисел, показывают наличие весьма больших "близнецов" (напр., 10006427 и 10006429), однако это не является доказательством бесконечности их числа. За пределами составленных таблиц известны отдельные П. ч., допускающие простое арифметич. выражение [напр., установлено (1965), что 211 213-1 есть П. ч.; в нём 3376 цифр].
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М.- Л., 1936; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; Трост Э., Простые числа, пер. с нем., М., 1959.