ПОЛНОТА

ПОЛНОТА, свойство научной теории, характеризующее достаточность для к.-л. определённых целей её выразительных и (или) дедуктивных средств.

Один из аспектов понятия П.- т. н. функциональная П. (ф. п.)-применительно к естественному языку представляет собой то (неформальное) его качество, благодаря к-рому на нём можно сформулировать любое осмысленное сообщение, могущее понадобиться для тех или иных целей. Напр., англ, язык функционально полон с точки зрения целей, к-рые имел в виду У. Шекспир, создавая "Гамлета" (если исходить из предположения, что ему удалось полностью реализовать свой замысел). Но и любой другой из "живых" языков, на к-рый "Гамлет" переведён, полон в том же смысле: перевод как раз и служит свидетельством этой ф. п.

Аналогично (в математике), семейство функций, принадлежащих некоторому классу функций, является полным относительно этого класса (и относительно нек-рого фиксированного запаса "допустимых" операций над функциями), если любую функцию этого класса можно выразить через функции данного семейства (с помощью допустимых операций). Так, любая из функций sinх или cosх составляет одноэлементный класс, полный для всех тригонометрич. функций (относительно четырёх ариф-метич. действий, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня); три единичных вектора по осям координат образуют полный класс (относительно сложения, вычитания и умножения на действительное число) для множества всех векторов трёхмерного евклидова пространства.

Понятие ф. п. играет важную роль в матем. логике: все двуместные логические операции исчисления высказываний (см. Логика высказываний) могут быть выражены через конъюнкцию и отрицание, или через дизъюнкцию и отрицание, или через импликацию и отрицание, или даже через единственную операцию антиконъюнкцию ("штрих Шеф-фера"), т. е. все эти семейства логич. связок представляют собой функционально полные классы операций алгебры логики.

Для логики и её приложений к дедуктивным наукам не менее существенную роль играет т. н. дедуктивная П. (д. п.) аксиоматич. теорий (или, что то же, положенных в их основу систем аксиом; эпитет "дедуктивная" обычно опускают). В зависимости от выбора критерия "достаточности" дедуктивных средств теории (или формального исчисления) приходят к той или иной точной модификации понятия д. п. Вообще аксиоматич. система наз. (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или данной интерпретации), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. Такое понятие д. п. ("в широком смысле"), связанное с понятием истинности, носит, очевидно, семантический (содержательный, см. Семантика) характер. Но в ряде случаев понятие д. п. удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения метаматематическими (см. Метаматематика) средствами. Такая д. п. ("в узком смысле") определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы; эта ("абсолютная") П., вообще говоря, сильнее семантич. П.: напр., исчисление предикатов, полное в широком смысле, в узком смысле неполно.

Неполные (или, как часто говорят, некатегоричные) системы аксиом, допускающие существенно различные и притом неизоморфные интерпретации (напр., теория групп в абстрактной алгебре или теория топологических пространств"), представляют особый интерес именно богатством и разнообразием своих приложений (это обусловливается различными путями "пополнения" теории за счёт присоединения различных аксиом). Но ещё более важно то, что (как установил в 1931 К. Гёделъ) для достаточно богатых аксиоматич. теорий (включающих формальную арифметику натуральных чисел и тем более аксиоматическую теорию множеств) требования д. п. и непротиворечивости оказываются несовместимыми. Это поразительное открытие составило целую эпоху в развитии матем. логики, привело к осознанию принципиальной ограниченности играющего в ней большую роль аксиоматического метода и стимулировало поиски новых, более гибких в известном смысле, логич. и логико-матем. теорий и новых дедуктивных средств.

См. также ст. Доказательство и лит. при ней.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, §§ 29, 32, 42, 72 (лит.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959, гл. 2, § 10, гл. 3, § 7, гл. 4, §§ 17, 19.