ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА, раздел математической статистики, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам. Обычно рассматривается следующая схема П. э. Со случайными ошибками измеряется функция f (0, х), зависящая от неизвестных параметров (вектора 0) и от переменных х, к-рые по выбору экспериментатора могут принимать значения из нек-рого допустимого множества X. Целью эксперимента является обычно либо оценка всех или нек-рых параметров 0 или их функций, либо проверка нек-рых гипотез о параметрах 0. Исходя из цели эксперимента, формулируется критерий оптимальности плана эксперимента. Под планом эксперимента понимается совокупность значений, задаваемых переменным х в эксперименте. Как правило, оценки параметров 0 ищут по наименьших квадратов методу, а гипотезы о параметрах 0 проверяют с помощью F-критерия Фишера (см. Дисперсионный анализ) ввиду оптимальных свойств этих методов. В обоих случаях при этом оказывается естественным выбирать в качестве критерия оптимальности плана с заданным числом экспериментов нек-рую функцию от дисперсий и коэффициентов корреляции оценок методом наименьших квадратов. Отметим, что в случае, когда f(0,x) линейно зависит от 0 оптимальный план часто можно построить до проведения эксперимента, в других случаях уточнение плана эксперимента происходит по ходу эксперимента.

Для иллюстрации рассмотрим определение весов 0₁, 0₂, 0₃ трёх грузов на весах с двумя чашками, если результат m-го эксперимента есть разность веса содержимого второй и первой чашки плюс случайная ошибка е_m со средним 0 и дисперсией o², т. е.

если i-й груз был на k_im-й чашке в m-м эксперименте, и x_im = 0, если i-й груз не взвешивался в m-м эксперименте. Взвесив каждый груз отдельно и раз (3n экспериментов), мы оценим его вес по методу наименьших квадратов величиной

с дисперсией o²/п. При n = 8 той же точности мы достигнем после взвешивания по одному разу всех 8 различных комбинаций грузов, в к-рых каждый из них лежит либо на одной, либо на другой чашке, причём оценка по методу наименьших квадратов даётся формулой

i = 1, 2, 3.

Начало П. э. положили труды англ. статистика Р. Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное П. э. даёт не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. Можно выделить следующие направления П. э.

Исторически первое из них, факторное, было связано с агробиологич. применениями дисперсионного анализа, что нашло отражение в сохранившейся терминологии. Здесь функция f (0, x) зависит от вектора x переменных (факторов) с конечным числом возможных значений и характеризует сравнительный эффект значений каждого фактора и комбинаций разных факторов. Алгебраическими и комбинаторными методами были построены интуитивно привлекательные планы одновременно и сбалансированным образом изучающие влияние по возможности большого числа факторов. Впоследствии было доказано, что построенные планы оптимизируют нек-рые естественные характеристики оценок метода наименьших

Следующим под влиянием приложений в химии и технике развивалось Пи э по поиску оптимальных условий протекания того или иного процесса. По существу эти методы являются модификацией обычных численных методов поиска экстремума с учетом случайных ошибок измерений. Специфическими методами обладает планирование отсеивающих экспериментов, в к-рых нужно выделить те компоненты вектора х, к-рые сильнее всего влияют на функцию f(0,х), что важно на начальной стадии исследования, когда вектор х имеет большую размерность В 60-х гг. 20 в. сложилась совр. теория П. э. Ее методы тесно связаны с теорией приближения функций и математич. программированием. Построены оптимальные планы и исследованы их свойства для широкого класса моделей Разработаны также итерационные алгоритмы 11. э., дающие во многих случаях удовлетворительное численное решение задачи П. э.

Лит.: Xикс Ч. Р., Основные принципы планирования эксперимента, пер. с англ. М., 1967, Федоров В. В., Теория оптимального эксперимента 1971