ИЗОТРОПИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

- естественное линейное представление изотропии группы в касательном пространстве к многообразию. Если G- группа дифференцируемых преобразований многообразия Ми G_x- соответствующая группа изотропии в точке хО М, то И. п. Is_x: сопоставляет каждому hО G_x дифференциал ls_x(h) = dh_x преобразования hв точке х. Образ И. п. Is_x(G_x). наз. линейной группой изотропии в точке х. В случае, когда G- группа Ли со счетной базой, гладко и транзитивно действующая на М, касательное пространство Т _x М естественно отождествляется с пространством g/g_x , где - алгебры Ли групп И. п. Is_x отождествляется при этом с представлением к-рое индуцируется ограничением присоединенного представления Ad_G группы Gна G_x.

Если однородное пространство Мредуктивно, т. е. g=g_x+m, где m- подпространство, инвариантное относительно Ad_G(G_x), то Т _х М отождествляется с т,a Is_x -с представлением (см. [3]). В этом случае И. п. является точным, если Gдействует эффективно.

И. п. и линейная группа изотропии играют важную роль при изучении инвариантных объектов на однородных пространствах.Инвариантные тензорные поля на однородном пространстве Мнаходятся во взаимно однозначном соответствии с тензорами в пространстве Т _x М, инвариантными относительно И. п. В частности, М обладает римановой инвариантной метрикой тогда и только тогда, когда в Т _x М существует евклидова метрика, инвариантная относительно линейной группы изотропии. Существование на однородном пространстве Мположительной инвариантной меры равносильно условию |det A| = l для всех Однородное пространство ориентируемо тогда и только тогда, когда Инвариантные линейные связности на Мнаходятся во взаимно однозначном соответствии с линейными отображениями обладающими следующими свойствами:

Обобщением понятия И. п. является понятие И. п. порядка r. Это гомоморфизм группы G_x в группу L^r( Т _x М). обратимых r-струй диффеоморфизмов пространства Т _x М, переводящих в себя нуль. Это понятие применяется при изучении инвариантных объектов высших порядков.

Лит.:[1] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975; L2] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; 13] Рашевский П. К., в кн.: Тр. семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике, в. 9, М.- Л.,1952, с. 49-74; [4] К артан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, пер. с франц., М., 1949.

А. Л. Онищик.