УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ

УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ, многочлены Гегенбауэра, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для п = О, 1, 2, ... У. м. Р_n^Ч (х) степени п являются коэффициентами при aⁿ в разложении в степенной ряд функции

У. м. ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [ - 1; +1] относительно веса (1 - х²)^Ч-1/2. У. м.- частный случай Якоб и многочленов.

многочлены Гегенбауэра,- многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией частный случай Якоби многочленов при Лежандра многочлены Р _п(x) -частный случай У. м,:

Для У. м. принята стандартизация

и имеет место представление

У. м. являются коэффициентами разложения в степенной ряд производящей функции

У. м. удовлетворяет дифференциальному уравнению

Наиболее употребительны формулы

Лит. см. при ст. Ортогональные многочлены.
П. К. Суетин.