- проконечная группа, являющаяся проективным пределом конечных р-групп. Напр., аддитивная группа кольца 
целых р-адичсских чисел является П.-р-г. В теории Галуа П.-р-г. появляются как группы Галуа р-расширений полей.
Пусть Gесть П.-p-г. Ее системой образующих наз. подмножество 
, обладающее свойствами: 1) Gсовпадает с минимальной замкнутой подгруппой группы G, содержащей Е,2) в любой окрестности единицы группы Gсодержатся почти все (т. е. все, кроме конечного числа) элементы из Е.
Пусть I - множество индексов и FI - абстрактная свободная группа с системой образующих 
. Проективный предел F(I).системы групп FI/N, где N - такие нормальные делители группы FI, что индекс подгруппы Nв FI является степенью числа р, а почти все элементы ai, 
, лежат в N, является П.-р-г., к-рая наз. свободной П.-р-г. с системой образующих 
. Всякая замкнутая подгруппа свободной П.-р-г. сама является свободней П.-р-г. Всякая П.-р-г. Gесть факторгруппа свободной П.-р-г., то есть существует точная последовательность гомоморфизмов П.-р-г.
где F - подходящая свободная П.-р-г.(эта последовательность наз. представлением группы Gс помощью F). Подмножество 
наз. системой соотношений группы G, если Rявляется наименьшим замкнутым нормальным делителем в R, содержащим Е, и любой открытый нормальный делитель в Rсодержит почти все элементы из Е. Мощности минимального (относительно включения) множества образующих и минимальной системы соотношений соответствующего представления П.-р-г. Gдопускают когомологич. интерпретацию: первая мощность совпадает с размерностью над 
пространства 
, а вторая - с размерностью над 
пространства 
. Здесь 
рассматривается как дискретный G-модуль с тривиальным действием. Если G - конечная р-группа, то
4 dim H2 (G)
(dim H1 (G) -1)2;
из этого результата выводится отрицательное решение классич. проблемы башни полей классов [4].
Лит.:[1] Серр Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц., М., 1008; [2] Кох X., Теория Галуа р-расширений, пер. с нем., м., 1973; [3] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [4] Голод Е. С., Шафаревич И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, № 2, с. 261-72.
В. Л. Попов.