АДАМАРА ТЕОРЕМА

- 1) А. т. о лакунах (о пропусках): если номера n₁, п ₂, ... всех отличных от нуля коэффициентов степенного ряда

удовлетворяют условию

где то граница круга сходимости этого ряда является его естественной границей, т. е. функция не может быть аналитически продолжена за пределы этого круга. Условие (*) наз. условием Адамара; лакуны, удовлетворяющие условию Адамара, наз. лакунами Адамара. См. также Лакунарный ряд, Фабри теорема.

2) А. т. о целых функциях- теорема о представлении целых функций с помощью их нулей, уточняющая Вейерштрасса теорему о бесконечных произведениях в случае целой функции конечного порядка Если, для простоты, то

где - многочлен степени не выше а

- каноническое произведение Веиерштрасса рода построенное по нулям функции Иначе говоря, А.т. утверждает, что род целой функции не превосходит ее порядка. Эта теорема использовалась Ж. Адама-ром при доказательстве асимптотич. закона распределения простых чисел.

Лит.:[1] Hadamard J., "J. math, pures et appl.", ser. 4, 1893, t. 9, p. 171-215; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функции, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 2; [3] Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956. Е. Д. Соломенцев.

3) А. т. об определителях: пусть D - определитель матрицы с элементами Тогда имеет место неравенство

Равенство имеет место в том и только в том случае, когда

для каждой пары различных или когда хотя бы один множитель в правой части равен нулю. Геометрич. смысл этой теоремы заключается в том, что объем параллелепипеда в n-мерном пространстве не превышает произведения длин его ребер, исходящих из одной вершины, и что равенство имеет место, когда эти ребра взаимно перпендикулярны или когда длина одного из ребер равна нулю.

Ж. Адамар в [1] рассматривал эту задачу для определителя с комплексными элементами.

Лит.:[1] Hadamard J., "Bull. sci. math.", 1893, ser. 2, t. 17, pt. 1, p. 240-6. О.

4) А. т. о трех кругах: если f(z) - голоморфная функция комплексного переменного в кольце непрерывная в замкнутом кольце то справедливо неравенство

Это неравенство означает, что log М(r).есть выпуклая функция от log r. А. т. является частным случаем двух констант, теоремы.

А. т. допускает обобщения в различных направлениях, в частности обобщение для других метрик, для гар-монич. и субгармонич. функций.

5) А. т. мультипликационная, А. т. об умножении особенностей: если степенные ряды

имеют, соответственно, радиусы сходимости и если - звезды Миттаг-Леффлера (см. Звезда элемента функции), соответственно, для и и если - множество особых точек функции на границе звезды - множество особых точек функции на границе звезды то степенной ряд

имеет радиус сходимости а его звезда Миттаг-Леффлера содержит звезду-произведение где обозначает дополнение множества и - множество всех произведений чисел кроме того, из угловых и хорошо достижимых точек границы звезды-произведения особыми точками функции могут быть лишь точки произведения множеств Первоначальные формулировки теоремы (см. [1], [2]) были несколько отличны от приведенной выше, они потребовали уточнений (см. [2]).

Степенной ряд (2) наз. адамаровским произведением, или адамаровской композицией, степенных рядов (1). Свойства адама-ровского произведения, выявленные этой А. т. и в последующих исследованиях (см. [3]), позволяют использовать его в вопросах аналитич. родолжения степенных рядов, когда по коэффициентам ряда вида (2) оказывается возможным сделать нек-рые заключения об особенностях представляемой им аналитич. функции.

Если К - произвольное компактное множество, расположенное внутри звезды-произведения то найдется такой замкнутый спрямляемый контур L, расположенный внутри и охватывающий К, что для всех справедливо интегральное представление адамаровского произведения:

Представление (3) также применяется в вопросах аналитич. родолжения.

Лит.:[1] Hadamard J., "Acta math.", 1899, Bd 22, S. 55-63; [2] eго же, "Scientia Phys.-math.", 1901, №12; [3] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967. Е. Д. Соломенцев.