ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА множества А, такая точка § пространства, сколь угодно близко от к-рой имеются отличные от g точки множества Л, т. е. в любой окрестности к-рой содержится бесконечное множество точек из Л. Характеристическим свойством П. т. множества Л является существование по крайней мере одной сходящейся к ней последовательности различных точек множества Л. П. т. множества Л не обязана ему принадлежать. Так, напр., всякая точка числовой прямой является П. т. для множества Л рациональных её точек: ко всякому как рациональному, так и иррациональному числу можно подобрать сходящуюся к нему последовательность различных рациональных чисел. Не всякое бесконечное множество имеет П. т.-таково, напр., множество всех целых чисел. Однако всякое бесконечное и ограниченное множество любого евклидова пространства имеет по крайней мере одну П. т.

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948.

траектории {/'.г} динамической системы f^t - точка

(1) (a-предельная точка) или

(2)

(w-предельная точка), где {t_k}, kN,- последовательность такая, что при в (1) или при в (2) и пределы (1) или (2) существуют.

Для траектории {f^tx} динамич. системы f^t (или, иначе, f(t, х), см. [1]) a-П. т. (w-П. т.) - то же, что w-П. т. (a-П. т.) траектории {f^-tx} динамич. системы f^-t (системы с обращением времени). Множество W_x(A_x).всех w-П. т. (a-П. т.) траектории {f^tx} наз. w-предельным (a-предельным) множеством этой траектории.

Лит.:[1] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М., 1949. В. М. Миллионщиков.

множества- точка, в любой окрестности к-рой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от нее самой. Рассматриваемые множества и точка предполагаются принадлежащими нек-рому топологич. пространству. Множество, содержащее все свои П. т., наз. замкнутым. Совокупность всех П. т. множества Мназ. производным множеством и обозначается М'. Если рассматриваемое топологич. пространство X удовлетворяет первой аксиоме отделимости (для любых двух его точек х и усуществует окрестность U(х), не содержащая точку у), то каждая окрестность П. т. нек-рого множества содержит бесконечно много точек этого множества и производное множество М' - замкнуто. Всякая прикосновения точка множества Мявляется либо его П. т., либо изолированной.

Лит.:[1] Александров II. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Xаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937.

Л. Д. Кудрявцев.

• limitní bod

• mezní bod