БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА

исторически первая форма больших чисел закона. Б. т. приведена в четвертой части книги Я. Бернулли (J. Bernoulli) "Ars conjeсtandi" ("Искусство предположений"). Эту часть можно считать первым серьезным трудом по теории вероятностей. Книга издана в 1713 Н. Бернулли (племянником Я. Бернулли). Б. т. относится к последовательности независимых испытаний (см. Бернулли испытания), в каждом из к-рых вероятность появления нек-рого события (успеха) равна р. Пусть п - число испытаний и т - случайная величина, равная числу успехов.

Б. т. утверждает, что каковы бы ни были положительные числа при всех достаточно больших вероятность Рнеравенства

будет больше .Доказательство этой теоремы, данное Я. Бернулли (и основанное только на изучении характера убывания вероятностей в биномиальном распределении по мере удаления от наивероятнейшего значения), сопровождалось неравенством, позволяющим указать нек-рую границу для указанного по данным . Напр., Я. Бернулли находит, что при вероятность неравенства

будет больше при Несколько совершенствуя первоначальное рассуждение Я. Бернулли, можно установить, что пдостаточно выбирать с условием

что дает, в свою очередь, для вероятности неравенства

оценку вида

Для приведенного выше примера получается условие (более сложные оценки показывают, что достаточно брать для сравнения заметим, что теорема Муавра - Лапласа в качестве приближенного значения п ₀ дает 6 498). Другие оценки для можно получить, используя Бернштейна неравенство п его аналоги (см. также Биномиальное распределение).

Лит.:[ 1] Бернулли Я., Часть четвертая сочинения Якова Бернулли "Ars conjectandi", СПБ, 1913; [2] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [3] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946.

Ю. В. Прохоров.

одна из предельных теорем теории вероятностей; простейший случай закона больших чисел, относится к распределению отклонений частоты появления нек-рого случайного события от его вероятности при независимых испытаниях. Установлена Я. Бернулли (опубл. в 1713).