ГИПЕРБОЛА

ГИПЕРБОЛА (греч. hyperbole), линия пересечения круглого конуса с плоскостью, встречающей обе его полости (рис. 1). Г. может быть также определена как геометрич. место точек M

плоскости, разность расстояний к-рых до двух определ. точек F_t и F₂ (фокусов Г.) плоскости постоянна. Если выбрать систему коовдинат хОу так, как указано на рис. 2 (OF₁ = OF₂ = с), то уравнение Г. примет вид:

(*)

Г.-

линия второго порядка; состоит из двух бесконечных ветвей K₁A₁K‘₁ и K₂A₂K‘₂, она симметрична относительно осей F₁ F₂ и B₁B₂‘, точка О - центр Г.- является её центром симметрии; отрезки A₁A₂ = = 2а, B₁B₂ = 2b называются соответственно действит. осью Г. и мнимой осью Г., число е = с/а > 1 - эксцентриситетом Г. Прямые D₁D‘₁ и D₂D‘₂, уравнения к-рых x = -a/e TS. х = a/e, наз. директрисами Г.; отношение расстояния точки Г. до ближайшего фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянно и равно эксцентриситету. Точки A₁ и A₂ пересечения Г. с осью Ox наз. её вершинами. Прямые (изображённые на рис. 2 пунктиром) являются асимптотами Г. График обратной пропорциональности у ~ k/x является Г. См. также Конические сечения.

ГИПЕРБОЛА (от греч. hyperbole - преувеличение), стилистич. фигура или художеств, приём, основанные на преувеличении: явлению приписывается к.-л. признак в такой мере, в какой оно им реально не обладает (напр., у H. В. Гоголя: "шаровары шириной в Чёрное море"). T. о., Г. является художеств, условностью и вводится в экспрессивных целях. Г. характерна для поэтики эпич. фольклора, для поэзии романтизма и жанра сатиры (H. В. Гоголь, В. В. Маяковский). Противоположная Г. стилистич. фигура - литота.

- плоская кривая, получающаяся в пересечении кругового конуса с плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей обе его полости. Г. есть множество точек Мплоскости (см. рис.), модуль разности расстояний к-рых до двух данных точек и (фокусов Г.) постоянен и равен . Расстояние между фокусами Г. наз. ф о-кусным расстоянием его принято обозначать через 2с. Середина отрезка наз. центром Г. Прямая, на к-рой лежат фокусы Г., наз. действительной (или фокальной) осью Г. Прямая, проходящая через центр Г. перпендикулярно к действительной оси Г., наз. мнимой осью Г. Мнимая и действительная оси Г. являются ее осями симметрии. Число наз. эксцентриситетом Г. Диаметром Г. наз. любая прямая, проходящая через центр Г. Середины параллельных хорд Г. лежат на диаметре. Директрисой Г., соответствующей данному фокусу F, наз. прямая d, перпендикулярная к действительной оси Г., отстоящая от центра на расстояние ale и лежащая от центра по одну сторону с фокусом F. У Г.- две директрисы. Г. имеет две асимптоты:

Г. есть центральная линия второго порядка. Ее канонич. уравнение имеет вид

где и - полуоси Г., а - текущие координаты.Уравнение касательной к Г. в точке (x₀, y₀) имеет вид

Фокальный параметр Г. (половина длины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно фокальной оси Г.) равен . При помощи фокального параметра рможно записать уравнение Г. в виде

где - полярные координаты, - угол между асимптотами.

При Г. наз. равнобочной, или равносторонней, Г. Асимптоты равнобочной Г. взаимно перпендикулярны; если их принять за оси координат, то уравнение равнобочной Г. примет вид

т. е. равнобочная Г. представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.

Д. Б. Иванов.