ЛИ АЛГЕБРА

лиева алгебра,- унитарный k-модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к-рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами:

1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность

2) ( х,[ у, z]]+[ у,[z, х}] +[z,[ х, у]] = 0 (тождество Якоби).

Таким образом, Ли а. является алгеброй над k(не обязательно ассоциативной); обычным образом определяются понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма алгебр Ли. Ли a. Lназ. коммутативной, если [ х, у] = 0 для всех х,

Наиболее важным является случай, когда k - поле (в особенности .. или ), a L - векторное пространство (вообще говоря, бесконечномерное) над k.

Ли а. появились в математике в кон. 19 в. в связи с изучением Ли групп (см. также Ли локальная группа, Ли группа преобразований, Ли теорема), а в неявной форме несколько раньше в механике. Общей предпосылкой возникновения этого понятия было понятие "инфинитезимального преобразования", восходящее по меньшей мере ко времени возникновения исчисления бесконечно малых. Замкнутость интегралов класса С ₂ уравнения Гамильтона относительно скобок Пуассона, удовлетворяющих тождеству Якоби, - одно из самых ранних замечаний, выраженное, собственно, на языке Ли а. (см. [8], [10]). Сам термин "Ли а." был введен Г.Вейлем (Н. Weyl) в 1934 (до этого времени использовались термины "инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы", или "инфинитезимальная группа"). С течением времени роль Ли а. возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. Этим в первую очередь объясняется особое место Ли а. среди многих других многообразий универсальных алгебр. В наше время аппарат Ли а. воспринимается уже не только как полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач (будь то в теории групп Ли или в значительной мере поглотившей ее и чрезвычайно разросшейся теории алгебраических групп, или же в стоящей несколько особняком теории конечных групп);это также источник красивых и трудных задач линейной алгебры.

Имеется несколько естественных источников, доставляющих важнейшие примеры Ли а.

1) В рамках общей алгебры значение Ли а. определяется прежде всего тем, что множество Dеr(A) всех дифференцирований любой k-алгебры является Ли а. с операцией

Дифференцирования Ли a. Lвида

наз. внутренними дифференцирования м и, или присоединенными эндоморфизмам и. Они образуют в Der(L) подалгебру ad L, а отображение является гомоморфизмом Ли а. (присоединенное представление Ли a. L);его образ ad Lизоморфен фактор-алгебре алгебры Lпо ее центру

2) Еще один существенный источник Ли а. связан со следующим простым наблюдением. Если L - ассоциативная алгебра над kс умножением то умножение в k-модуле L, задаваемое правилом

наделяет Lструктурой Ли а. над k. Говорят, что (L,[ ,]) - Ли а., ассоциированная с ассоциативной алгеброй (L, Х). Так, классич. пример Ли a. (L,[ ,]) получится, если в качестве (L, Х).взять (ассоциативную) алгебру M_n(k).всех квадратных матриц порядка га над k.

Следующие четыре бесконечные серии подалгебр в Ли а. указанного типа наз. классическими (k- поле нулевой характеристики):

При этом

Если, кроме того, поле kалгебраически замкнуто, то эти Ли а. замечательны тем, что ими и еще пятью Ли особыми алгебрами G₂, F₄, E₆, Е ₇, E₈ размерностей 14, 52, 78, 133 и 248 соответственно исчерпываются, с точностью до изоморфизма, все простые (т. е. некоммутативные и не содержащие идеалов, отличных от 0 и самой алгебры) конечномерные Ли а. над k.

3) Еще один источник Ли а.- векторные поля на многообразии (см. [13], [14]). Пусть F - кольцо гладких функций на -гладком многообразии М. Векторное пространство Vect(M) всех -гладких векторных полей на Мобразует Ли а. относительно операции коммутирования (см. Ли скобка), играющую важную роль в теории многообразий; Ли a. Vect(M) совпадает с Ли a. Der(F). Эта алгебра, вообще говоря, бесконечномерна. Если М - группа Ли, то подпространство в Vect (М), состоящее из всех левоинвариантных векторных полей, является конечномерной подалгеброй и наз. алгеброй Ли группы Ли М;она играет важную роль в теории групп Ли, позволяя переформулировать многие свойства групп Ли в терминах Ли а. См. также Ли алгебра алгебраической группы, Ли алгебра аналитической группы.

Если в приведенном выше примере заменить кольцо Fна коммутативную алгебру формальных степенных рядов над полем k, то вместо Vect(M) получается Ли a. W_n формальных векторных полей, состоящая из дифференциальных операторов

Подалгебры состоящие из дифференцирований, аннулирующих соответственно внешние дифференциальные формы

а также подалгебра дифференцирований, умножающих форму

на элементы из вместе с алгеброй составляют важный класс простых бесконечномерных Ли а. (алгебры Ли к а р т а н о в с к о г о типа). Алгебра W_n наз. общей, S_n - специальной, Н _п - г а м и л ь т о н о в о й, K_n -контактной. Эти алгебры встречались еще у С. Ли (S. Lie) при изучении псевдогрупп преобразований ( или ), а затем исследовались по разным поводам Э. Картаном (Е. Cartan) и др. (см. [15], [17], [18], [19]).

4) Следующая общая конструкция позволяет строить -алгебру Ли Lпо любой группе G;она находит применение в теории групп (см. Бёрнсайда проблема,[16]). Пусть

- нижний центральный ряд группы G. Тогда L - это прямая сумма аддитивно записанных факторгрупп причем, по определению, произведение элементов есть элемент из G_i+j/G_i+j-1, являющийся классом коммутатора элементов представляющих соответственно хи у. На произвольные элементы из Lэта операция распространяется по дистрибутивности. Имеются (см. [16]) нек-рые обобщения этой конструкции.

Строение алгебр Ли. Одним из общих результатов, показывающих, в частности, что конструкция 2) имеет в известном смысле универсальный характер, является Биркгофа - Витта теорема, согласно к-рой для любой Ли a. Lнад полем kсуществует такая ассоциативная k-алгебра U, что Lизоморфно вкладывается в Ли a. (U,[ ,]), ассоциированную с U. Если при этом Lконечномерна, то можно считать, что и Uконечномерна (см. Универсальная обертывающая алгебра).

Пусть L - конечномерная Ли а. над полем kнулевой характеристики. Тогда Lлинейна, т. е. изоморфна подалгебре нек-рой Ли a. M_n(k).(теорема А д о). В Lимеется наибольший разрешимый идеал R, называемый радикалом (см. Ли разрешимая алгебра). Кроме того, в Lсуществует подалгебра S(называемая подалгеброй Лев и) такая, что L - прямая сумма векторных пространств Sи R, причем любая другая подалгебра с таким свойством переводится в Sавтоморфизмом алгебры L(теорема Леви - Мальцева). Подалгебра Sявляется полупростой (т. е. ее радикал равен нулю), и она может быть охарактеризована как максимальная полупростая подалгебра в L. Таким образом, Lявляется полупрямой суммой полупростой и разрешимой Ли а., что сводит задачу классификации конечномерных Ли а. над полем нулевой характеристики к описанию Ли а. этих двух типов. Хотя разрешимые Ли а. в нек-ром смысле "получаются" из тривиально устроенных одномерных (а именно, обладают цепочкой подалгебр таких, что L_i - идеал в L_i-1 и L_i-1/L_i одномерна); строение их настолько сложно, что к настоящему времени (1982) фактически отсутствует даже корректная постановка задачи о классификации разрешимых Ли а. Напротив, конечномерные полупростые Ли а. над полем нулевой характеристики допускают полное описание (см. Ли полупростая алгебра):всякая такая алгебра разлагается в прямую сумму простых идеалов (и обратно, прямая сумма простых Ли а.- полупроста). В случае алгебраически замкнутого поля все простые Ли а. явно перечислены (см. п. 2); в случае произвольного поля kимеется процедура их нахождения, с помощью к-рой в ряде случаев (напр., при ) также найдена явная классификация.

Конечномерные Ли а. над полем характеристики p>0 исследованы значительно менее полно (даже для алгебраически замкнутых полей). Эти Ли а. обладают многими специфич. свойствами. Напр., весьма нетривиальным оказался даже вопрос описания полупростых Ли а. в терминах простых алгебр (см. [23]). При любом рсуществуют параметрич. семейства простых Ли а., попарно неизоморфных друг другу. Теория Ли а. для этого случая находится в процессе становления, причудливым образом отражая в себе черты двух разных классов комплексных Ли а.- конечномерных простых и бесконечномерных транзитивных простых, соответствующих примитивным псевдогруппам Ли (см. [17], [18], [19]).

Изучение бесконечномерных Ли а. началось еще в 19 в. одновременно с изучением конечномерных. Такие Ли а. естественно появляются при классификации примитивных псевдогрупп преобразований, предпринятой в 1909 Э. Картаном [20]. Эти алгебры обладают фильтрацией, для к-рой ассоциированная градуированная Ли а. имеет вид и транзитивна. Бесконечномерные градуированные Ли а. являются предметом интенсивных исследований, в к-рых обнаруживаются связи этих Ли а. не только с классическими геометрич. вопросами, но и со многими другими областями математики (см. Ли градуированная алгебра, а также [17], [22]). Важные примеры бесконечномерных Ли а. появлялись в последнее время в теории уравнений математич. физики (напр., для уравнения Кортевега - де Фриса) и в формальном вариационном исчислении (см. [14]).

Абстрактная теория бесконечномерных Ли а. (см., напр., [9]) находится пока в начальной фазе своего развития. Для построения структурной теории Ли а. и для большинства приложений в физике важную роль играет теория представлений Ли а.

См. также Супералгебра, Ли алгебр многообразие.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., [гл. 1-8], М., 1972-78; [2] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] Капланекий И., Алгебры Ли и локально компактные группы, пер. с англ., М., 1974; [4] Магнус В., Кар рас А., Солитэр Д., Комбинаторная теория групп, пер. с англ., М., 1974; [5] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [б] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1962; [7] С е р р Ж. П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [8] Ш е в а л л с К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М.,1958:[9] Amayo R. К., Stewart Ian, Infinite-dimensional Lie algebras, Leyden, 1974; [10] Humphreys J. E., Introduction to Lie algebras and representation theory, N. Y.- Hdlb.- В., 1972; [11] Se1igman G. В., Modular Lie algebras, В.- Hdlb.- N. Y., 1967; [12] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [13] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [14] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, М., 1979; [15] Международный конгресс математиков. Ницца. 1970. Доклады советских математиков, М., 1972, с. 111-17; [16] Кострики н А. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1957, т. 21, с. 289-310; 1959, т. 23, с. 3-34; 1970, т. 34, с. 744-56; [17] Гийемин В., "Математика", 1966, т. 10, № 4, с. 3-31; [18] К а ц В. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, с. 1323-67; 1974, т. 38, с. 800-34; [19] Кострикин А. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1969, т. 33, с. 251 - 322; [20] С a r t a n E., "Ann. Scient. Ecole norm. super.", 1909, t. 26, p. 93-161; [21] L a z a r d М., там же, 1954, t. 71, p. 101 - 90; [22] Singer I. M., Sternberg S., "J. Analyse Math.", 1965, v. 15, p. 1 - 114; [23] Block R. E., "Ann. Math.", 1969, v. 90, № 3, 433 - 59. А. И. Кострикин, В. Л. Попов.