ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС

ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС, случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 < t₁ <...< t_n < ...<... к.-л. случайных событий, в к-ром число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени, имеет Пуассона распределение и независимы числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени.

Пусть м (s,t) - число событий, моменты наступления к-рых t_i удовлетворяют неравенствам 0 =< s < t_i =< t, и пусть л (s, t) - математич. ожидание м (s, t). Тогда в П. п. при любых 0 =<s₁< < t₁=<s₂<t₂=< ... =<s_r <t_r случайные величины м (s₁, t₁), м (s₂,t₂),..., м (s_r, t_r) независимы и вероятность того, что м (s, t) = n, равна е^-л(s,t) [л(s, t)]ⁿ/n1.

В однородном П. п. л(s, t) = a(t - s), где а - среднее число событий в единицу времени, расстояния t_n - t_n-1 между соседними моментами t_n независимы и имеют показательное распределение с плотностью ae^-at, t>= 0.

Если имеется много независимых процессов, описывающих моменты возникновения нек-рых случайных редких событий, то суммарный процесс при определённых условиях в пределе даёт П. п.

П. п. представляет собой удобную математич. модель, к-рая часто используется в различных приложениях теории вероятностей. В частности, с помощью П. п. описывается поток требований (напр., вызовов, поступающих на телефонную станцию, выездов мед. машин скорой помощи при трансп. происшествиях в большом городе) в массового обслуживания теории.

Обобщением П. п. является пуассоновское случайное распределение точек па плоскости или в пространстве, при к-ром число точек в любой фиксированной области имеет распределение Пуассона (со средним, пропорциональным площади или объёму области) и числа точек в непересекающихся областях независимы. Это распределение часто используется при расчётах в астрономии, физике, экологии, технике и т. д.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, М., 1967.) Б. А. Севастьянов.

- случайный процесс X(t).с независимыми приращениями X(t₂)-X(t₁), t₂>t_l имеющими Пуассона распределение. В однородном П. п. для любых t₂ > t₁

(1)

Коэффициент l>0 наз. интенсивностью пуассоновского процесса X(t). Траектории П. п. X(t). представляют собой ступенчатые функции со окачками размера 1. Моменты скачков 0₁₂<. .>простейший поток, описывающий поток требований во многих системах массового обслуживания.Распределения случайных величин t₁-t_n-1 независимы при n=1,2,. .. и имеют показательную плотность

Одним из свойств П. п. является следующее: условное распределение моментов скачков 012< . . ._n-X(0)=псовпадает с распределением вариационного ряда независимой выборки объема n с равномерным распределением на [0, t], С другой стороны, если 0₁₂< . . ._n - описанный выше вариационный ряд, то при l получают в пределе распределение скачков П. п.

В неоднородном П. п. интенсивность l(t) зависит от времени tи распределение X(t₂)-X(t₁).определяется формулой

При определенных условиях П. п. может быть показан как предел суммы неограниченно возрастающего числа независимых "редких" потоков довольно общего вида. О нек-рых поучительных парадоксах, связанных с П. п., см. [3], т. 2, гл. 1.

Лит.:[1] Боровков А. А., Теория вероятностей, М., 1976; [2] ГихманИ. И., Скороход А. В., Ядренко М. И., Теория вероятностей и математическая статистика, К., 1979; [3] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, 2 изд., пер. с англ., т. 1 - 2, М., 1967.

Б. А. Севастьянов.