АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ — основанный на акте творческого воображения способ образования абстрактных понятий, лежащий в основе формирования одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности — идеи актуальной бесконечности. В простейшем случае — при рассмотрении какого-либо необрывающегося конструктивного процесса, порождающего объекты определенного типа — абстракция актуальной бесконечности состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этого процесса. Представив его как бы «продолженным до конца» и тем самым завершившимся, вводят в рассмотрение его воображаемый результат — множество (совокупность) всех порождаемых им объектов. При этом возникшее таким образом множество в дальнейшем начинает трактоваться в качестве актуального, «готового» объекта рассмотрения. Так, отправляясь от процесса последовательного порождения «натуральных чисел» 0,1,2,..., в результате применения к нему абстракции актуальной бесконечности приходят к актуально бесконечному объекту — «натуральному ряду», который в дальнейшем выступает в качестве на-ичного объекта, равноправного с составляющими его натуральными числами.
В более сложных случаях аналогичной процедуре подвергаются «процессы» существенно более сложных типов. В результате объектами рассмотрения становятся актуально бесконечные множества элементов произвольной природы, что приводит к необходимости изучения понятия «множества» как отдельного абстрактного понятия.
В отличие от таких абстракций, в основе которых лежат только акты «чистого» мысленного отвлечения, абстракция актуальной бесконечности существенным образом использует акты творческого воображения, решительного отхода от действительности, и это влечет за собой возникновение определенных методологических трудностей — в частности, трудностей истолкования суждений об объектах, возникающих в результате такого абстрагирования.Эти трудности, связанные с косвенным характером «осязаемости» объектов, полученных с применением абстракции актуальной бесконечности, оказываются особенно ощутимыми в тех случаях, когда эта абстракция применяется неоднократно и в сочетании с другими идеализациями. В логическом аспекте принятие этой абстракции ведет к принятию классической аристотелевской логики, и в частнсти — к принятию «закона исключенного третьего».
Особо важную роль абстракция актуальной бесконечности сыграла в процессе реализации так называемой «теоретико-множественной» программы построения ма тематики, провозглашенной в последней четверти 19 в. Г. Кантором (совместно с Р. Дедекиндом). По этой программе математику предполагалось возвести в виде своего рода «надстройки» над предварительно подготовленным «фундаментом», роль которого Кантором была отведена его «учению о множествах» (Mengenlehre), более известному в широких кругах под не совсем правильным названием «теории множеств», после чего и сам этот фундамент с его «произвольными множествами элементов произвольной природы» объявлялся частью математики.
(Здесь хотелось бы специально подчеркнуть, что непонятно, каким образом в научной литературе, после создания Кантором его «учения (sic!) о множествах» смог возникнуть и утвердиться несомненно претендующий на научность термин «теория (sic!) множеств»: ведь «теория множеств» всюду, где ее изучают, преподается как математическая дисциплина, между тем как ее основное понятие в самом начале курса неизменно провозглашается неопределяемым. Между тем как вопрос о парадоксах — скажем, о парадоксе Рассела, обнаруженном еще в 1902 и не устраненном до сих пор— никак не комментируется, даже если и излагается.)
Согласно канторовской программе, в свое время получившей в математике самое широкое распространение, всякий математический объект надлежало определять как множество, удовлетворяющее таким-то и таким-то условиям, и это обстоятельство делало абстракцию актуальной бесконечности основным в объектообразующим фактором в рамках данного подхода. Однако в связи с упоминавшимися выше трудностями неограниченное ее использование в качестве правомерного средства образования математических объектов неоднократно наталкивалось на неодобрительную реакцию со стороны ряда выдающихся математиков своего времени (К. Ф. Гаусс — еще до Кантора, — Л. Кронекер, А. Пуанкаре, Г. Вейль, и др.). Фундаментальнейшие программы построения математики, альтернативные по отношению к канторовской, где основной упор делался на использование в качестве базы одной лишь абстракции актуальной бесконечности, были предложены Л.Э.Я. Брауэром в его интуиционизме и А.А. Марковым в его конструктивной математике.
Н.М. Нагорный
Лит.: Колмогоров А.Н. Бесконечность в математике. БСЭ. Т. 3. М., 1970; Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965; Марков А.А. О конструктивной математике. Труды математического института им. В. А. Стеклова. Т. 67. М. — Л., 1962; Кантор Г. О различных точках зрения на актуальную бесконечность. Он же. Труды по теории множеств. М., 1985.