Значение слова "АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ" найдено в 8 источниках

АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ

  найдено в  "Философской энциклопедии"
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ
        одна из осн. абстракций (идеализации) классич. (теоретико-множеств.) математики и классич. математич. логики. Состоит в отвлечении от невозможности полного обозрения к.-л. бесконечного образования (бесконечной совокупности элементовк.-л. рода; знаковых конструкций, возникающих в ходе неограниченно продолжаемого конструктивного процесса; см. Конструктивное направление) и в рассмотрении его в качестве единого объекта — актуально бесконечного множества (напр., множества всех натуральных чисел, континуума точек отрезка, множества всех формул любой длины логич. исчисления), в применении к которому можно рассуждать по законам обычной (двузначной) логики и, в частности, применять исключённого третьего принцип и закон снятия двойного отрицания. А. а. б. не используется в интуиционистской математике и логике (см. Интуиционизм) и конструктивном направлении.
        Френкель А. А., Б а р - X и л л е л И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; ? е т p о в Ю. А., Логич. проблемы абстракций бесконечности и осуществимости, М., 1967.

Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия..1983.

АБСТРА́КЦИЯ АКТУА́ЛЬНОЙ БЕСКОНЕ́ЧНОСТИ
одна из осн.абстракций математики и логики, позволяющая исследовать бесконечные совокупности (множества), применяя к ним логич. принципы (в частности, исключенного третьего закон, произвольного выбора принцип и др.), почерпнутые из опыта обращения с конечными совокупностями. А. а. б. состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечного множества, от невозможности задать такое множество полным списком его элементов (в этом смысле А. а. б. состоит в отвлечении от "бесконечности" множества). См. Алгоритм, Математическая бесконечность, Множеств теория.
Лит.: [Колмогоров А. Н.], Бесконечность в математике, Большая Советская Энциклопедия, 2 изд., т. 5, М., 1950, с. 73–74; Шанин Η. Α., О некоторых логических проблемах арифметики, М., 1955.
В. Успенский. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия..1960—1970.

АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ
    АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ — основанный на акте творческого воображения способ образования абстрактных понятий, лежащий в основе формирования одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности—идеи актуальной бесконечности. В простейшем случае — при рассмотрении какого-либо необрывающегося конструктивного процесса, порождающего объекты определенного типа,—абстракция актуальной бесконечности состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этого процесса. Представив его как бы “продолженным до конца” и тем самым завершившимся, вводят в рассмотрение его воображаемый результат—множество (совокупность) всех порожденных им объектов. При этом возникшее таким образом множество в дальнейшем начинают трактовать в качестве актуального, “готового” объекта рассмотрения. Так, отправляясь от процесса последовательного порождения натуральных чисел 0, 1,2, .., в результате применения к нему абстракции актуальной бесконечности приходят к актуально бесконечному объекту — натуральному ряду, который в дальнейшем выступает в качестве наличного объекта, равноправного с составляющими его числами. В более сложных случаях аналогичной процедуре подвергаются “процессы” существенно более сложных типов. В результате объектами рассмотрения становятся актуально бесконечные множества элементов произвольной природы, что приводит к необходимости изучения понятия множества как отдельного абстрактного понятия.
    В отличие от таких абстракций, в основе которых лежат только акты “чистого” мысленного отвлечения, абстракция актуальной бесконечности существенным образом использует акты творческого воображения, решительного отхода от действительности, и это создает определенные методологические трудности, в частности трудности истолкования суждений о возникающих в результате такого абстрагирования объектах. Эти трудности, связанные с косвенным характером “осязаемости” полученных с применением абстракции актуальной бесконечности объектов, оказываются особенно ощутимыми в тех случаях, когда абстракция актуальной бесконечности применяется многократно и в сочетании с другими идеализациями. В логическом аспекте принятие абстракции актуальной бесконечности ведет к обоснованию классической аристотелевской логики, и в частности исключенного третьего закона.
    Особую роль абстракция актуальной бесконечности играет в канторовской “архитектурной программе для математики”, предусматривающей построение математики в виде надстройки над созданной им множеств теорией (точнее было бы, следуя самому Кантору, говорить об учении о множествах). Согласно этой программе, получившей в математике самое широкое распространение, всякий математический объект рассматривается как множество, удовлетворяющее определенному условию, и это обстоятельство делает абстракцию актуальной бесконечности основным в рамках данного подхода объектообразующим фактором. Однако в связи с упоминавшимися выше трудностями неограниченное ее применение в качестве правомерного средства образования математических понятий неоднократно вызывало возражения со стороны ряда выдающихся математиков (К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, Д. Гильберт, Г. Вейль и др.). Альтернативные по отношению к канторовской программы построения математики на базе использования одной лишь абстракции потенциальной осуществимости были предложены Л. Э. Я. Брауэром (см. Интуиционизм) и А. А. Марковым (см. Конструктивное направление). Без использования абстракции актуальной бесконечности обходится также и доказательств теория Д. Гильберта.
    Лит.: Бесконечность в математике (А. Н. Колмогоров). — БСЭ, т. 3. М., 1970; Рейтинг А. Интуиционизм. Введение. М„ 1965; Μάρκο“ А. А. О конструктивной математике.—Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 67. М.—Л., 1962; Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное.—В кн.: Он же. Труды по теории множеств. М., 1985.
    Н. М. Нагорный

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль..2001.



  найдено в  "Энциклопедии эпистемологии и философии науки"
        АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ — основанный на акте творческого воображения способ образования абстрактных понятий, лежащий в основе формирования одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности — идеи актуальной бесконечности. В простейшем случае — при рассмотрении какого-либо необрывающегося конструктивного процесса, порождающего объекты определенного типа — абстракция актуальной бесконечности состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этого процесса. Представив его как бы «продолженным до конца» и тем самым завершившимся, вводят в рассмотрение его воображаемый результат — множество (совокупность) всех порождаемых им объектов. При этом возникшее таким образом множество в дальнейшем начинает трактоваться в качестве актуального, «готового» объекта рассмотрения. Так, отправляясь от процесса последовательного порождения «натуральных чисел» 0,1,2,..., в результате применения к нему абстракции актуальной бесконечности приходят к актуально бесконечному объекту — «натуральному ряду», который в дальнейшем выступает в качестве на-ичного объекта, равноправного с составляющими его натуральными числами.
        В более сложных случаях аналогичной процедуре подвергаются «процессы» существенно более сложных типов. В результате объектами рассмотрения становятся актуально бесконечные множества элементов произвольной природы, что приводит к необходимости изучения понятия «множества» как отдельного абстрактного понятия.
        В отличие от таких абстракций, в основе которых лежат только акты «чистого» мысленного отвлечения, абстракция актуальной бесконечности существенным образом использует акты творческого воображения, решительного отхода от действительности, и это влечет за собой возникновение определенных методологических трудностей — в частности, трудностей истолкования суждений об объектах, возникающих в результате такого абстрагирования.Эти трудности, связанные с косвенным характером «осязаемости» объектов, полученных с применением абстракции актуальной бесконечности, оказываются особенно ощутимыми в тех случаях, когда эта абстракция применяется неоднократно и в сочетании с другими идеализациями. В логическом аспекте принятие этой абстракции ведет к принятию классической аристотелевской логики, и в частнсти — к принятию «закона исключенного третьего».
        Особо важную роль абстракция актуальной бесконечности сыграла в процессе реализации так называемой «теоретико-множественной» программы построения ма тематики, провозглашенной в последней четверти 19 в. Г. Кантором (совместно с Р. Дедекиндом). По этой программе математику предполагалось возвести в виде своего рода «надстройки» над предварительно подготовленным «фундаментом», роль которого Кантором была отведена его «учению о множествах» (Mengenlehre), более известному в широких кругах под не совсем правильным названием «теории множеств», после чего и сам этот фундамент с его «произвольными множествами элементов произвольной природы» объявлялся частью математики.
        (Здесь хотелось бы специально подчеркнуть, что непонятно, каким образом в научной литературе, после создания Кантором его «учения (sic!) о множествах» смог возникнуть и утвердиться несомненно претендующий на научность термин «теория (sic!) множеств»: ведь «теория множеств» всюду, где ее изучают, преподается как математическая дисциплина, между тем как ее основное понятие в самом начале курса неизменно провозглашается неопределяемым. Между тем как вопрос о парадоксах — скажем, о парадоксе Рассела, обнаруженном еще в 1902 и не устраненном до сих пор— никак не комментируется, даже если и излагается.)
        Согласно канторовской программе, в свое время получившей в математике самое широкое распространение, всякий математический объект надлежало определять как множество, удовлетворяющее таким-то и таким-то условиям, и это обстоятельство делало абстракцию актуальной бесконечности основным в объектообразующим фактором в рамках данного подхода. Однако в связи с упоминавшимися выше трудностями неограниченное ее использование в качестве правомерного средства образования математических объектов неоднократно наталкивалось на неодобрительную реакцию со стороны ряда выдающихся математиков своего времени (К. Ф. Гаусс — еще до Кантора, — Л. Кронекер, А. Пуанкаре, Г. Вейль, и др.). Фундаментальнейшие программы построения математики, альтернативные по отношению к канторовской, где основной упор делался на использование в качестве базы одной лишь абстракции актуальной бесконечности, были предложены Л.Э.Я. Брауэром в его интуиционизме и А.А. Марковым в его конструктивной математике.
        Н.М. Нагорный
        Лит.: Колмогоров А.Н. Бесконечность в математике. БСЭ. Т. 3. М., 1970; Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965; Марков А.А. О конструктивной математике. Труды математического института им. В. А. Стеклова. Т. 67. М. — Л., 1962; Кантор Г. О различных точках зрения на актуальную бесконечность. Он же. Труды по теории множеств. М., 1985.


  найдено в  "Математической энциклопедии"

одна из математических идеализации, связанная с определенной формой идеи бесконечности в математике - с идеей так наз. актуальной бесконечности.

В применении к потенциально неограниченно продолжимым конструктивным процессам (таким, напр., как процесс последовательного, отправляясь от нуля, порождения натуральных чисел) А. а. б. состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этих процессов и в равноправном затем рассмотрении результатов воображаемого завершения этих процессов - множеств порождаемых ими объектов, причем эти результаты начинают восприниматься нашим сознанием в качестве актуальных, "готовых" объектов рассмотрения. Применение А. а. б. в указанном выше примере позволяет нам считать математич. объектом множество всех натуральных чисел - натуральный ряд.

В логич.аспекте последовательное принятие А. а. б. ведет к принятию в качестве логич. принципа закона исключенного третьего.

Особую роль А. а. б. играет при построении математики на базе общей теории множеств, созданной Г. Кантором (G. Cantor). Являясь далеко идущей идеализацией, А. а. б., особенно при многократном применении ее в переплетении с другими идеализациями, порождает объекты, "осязаемость" к-рых становится косвенной, вследствие чего решение проблемы понимания суждений о таких объектах наталкивается на определенные трудности. Неограниченное применение А. а. б. в математике в качестве правомерного средства образования математич. объектов встречало возражения со стороны ряда математиков [Л. Кронекер (L. Kronecker), К. Гаусс (К. Gauss), Д. Гильберт (D. Hilbert), Г. Вейль (Н. Weyl) и др.]. Позитивные программы построения математики на базе абстракции потенциальной осуществимости без использования А. а. б. предложили Л. Э. Я. Брауэр (L. E. J. Brouwer, см. Интуиционизм).и А. А. Марков (см. Конструктивная математика).

См. также Абстракция .математическая.

Н. М. Нагорный.



T: 26