ПАСКАЛЯ ТЕОРЕМА
ПАСКАЛЯ ТЕОРЕМА, теорема геометрии, утверждающая, что во всяком шестиугольнике, вписанном в конич. сечение (эллипс, гиперболу, параболу), точки пересечения трёх пар противоположных сторон (или их продолжений) лежат на одной прямой, называемой прямой Паскаля; при этом шестиугольник может быть как выпуклым, так и звездчатым. На рис. 1 изображён шестиугольник, у к-рого последовательные вершины обозначены цифрами 1, 2, 3,, 4, 5, о; противоположными сторонами считаются такие, к-рые отделены друг от друга двумя сторонами, т. е. стороны 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 (здесь сторона 45, напр., отделена от стороны 12 сторонами 23 и 34); прямая Паскаля изображена пунктиром (если выбрать иные последовательности нумерации тех же вершин, т. е. взять другие шестиугольники, то будут получаться различные прямые Паскаля). П. т. установлена Б. Паскалем в 1639. Частный случай П. т. для конич. сечений, являющихся парой прямых, был известен ещё в древности (теорема Паппа).
Б. Паскаль.
Этот случай приведён на рис. 2, где вершины 1,3,5 лежат на одной прямой, а вершины 2,4,6 - на другой (прямая Паскаля изображена пунктиром). П. т. связана с Брианшона теоремой. Эти теоремы устанавливают важные проективные свойства конич. сечений.
Лит.: Глаголев n. a., Проективная геометрия, 2 изд., М., 1963; eфимов Н. В., Высшая геометрия. 5 изд., М., 1971.
противоположные стороны шестиугольника, вписанного в линию 2-го порядка, пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (на прямой Паскаля, см. рис. 1). П. т. верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем но две в одной точке). В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке.
Касательная к линии 2-го порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, к-рая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных нар несмежных сторон этого пятиугольника (см. рис. 2).
Если ABCD - четырехугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах Си Dсоответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых АВ и CD лежат на одной прямой (см. рис. 3).
Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой (см. рис. 4).
П. т. двойственна Брианшона теореме.
П. т. установлена Б. Паскалем (В. Pascal, 1639). Частный случай П. т. для линии 2-го порядка, вырождающейся в пару прямых, был известен еще в древности (см. Паппа аксиома).
Лит.:[1] Глаголев Н. А., Проективная геометрия, 2 изд., М., 1963; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд , М 1978. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко.