ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSEN

algebraisch abgeschlossen,

 

Eigenschaft eines Körpers K, wenn jede algebraische Gleichung mit Koeffizienten aus K eine Lösung besitzt, die selbst Element aus K ist.Jedes algebraische Element über einen algebraisch abgeschlossenen Körper K gehört also bereits zu K. Die Körper der rationalen und der reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen, da z. B. die Gleichungen x² — 2 = 0 und x² + 1 = 0 keine rationalen beziehungsweise reellen Zahlen als Lösungen haben. In einem algebraisch abgeschlossenen Körper lässt sich jedes Polynom mit Koeffizienten aus dem Körper in Linearfaktoren zerlegen. So gilt z. B. im Körper C der komplexen Zahlen für das Polynom P (x ) = x² + 1 die Zerlegung P (x ) = (x + i) (x — i), wobei i = die imaginäre Einheit ist.