АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

на теле - отображение тела Кв множество действительных чисел, удовлетворяющее условиям:

А. з. часто обозначается вместо . А. з. наз. также нормой, мультипликативным нормированием. А. з. могут рассматриваться на любом кольце со значениями в линейно-упорядоченном кольце [4] (см. также Нормирование).

Примеры А. з. Если - поле действительных чисел, то является абсолютной величиной, или модулем, числа Аналогично, если К - поле комплексных чисел или тело кватернионов, то есть А. з. Подполя этих полей также снабжаются индуцированным А. з. Любое тело имеет тривиальное А. з.:

конечные поля и их алгебраич. расширения имеют только такие А. з.

Примеры А. з. другого типа доставляют логариф-мич. нормирования тела : если - нормирование Ксо значениями в группе и - действительное число,

является А.з. Например, если а есть р-адическое нормирование поля , то называется р-aдическим А. з., или р-адической нормой. Эти А. з. удовлетворяют более сильному, чем 3), условию А. з., удовлетворяющие условию 4), наз. ультраметрическими А. з., или неархимедовыми А. з. (в отличие от архимедовых А. з., не удовлетворяющих этому условию). Они характеризуются тем, что для всех целых п.

Все А. з. тела характеристики являются ультраметрич. А. з. Все ультраметрич. А. з. получаются из нормировании указанным выше способом: (и обратно, за нормирование всегда можно взять - ).

А. з. определяет метрику на К, если за расстояние между хи упринять и тем самым определяет топологию на К. Так, топология любого локально компактного тела определяется нек-рым абсолютным значением. А. з. наз. эквивалентными, если они определяют одну топологию; в этом случае существует такое что для всех

Структура всех архимедовых А. з. дается теоремой Островского: если - архимедово А. з. на теле К, то существует такой изоморфизм Кна нек-рое всюду плотное подтело тела что эквивалентно А. з., индуцированному с

Любое нетривиальное А. з. поля рациональных чисел эквивалентно либо р-адическому А. з. (где р - простое число), либо обычной абсолютной величине. При этом для любого рационального числа rОQ

Аналогичная формула имеет место и для полей алгебраич. чисел (см. [2], [3]).

Если - нек-рое А. з. тела К, то Кможет быть вложено, при помощи классич. процесса пополнения, в тело К _j, полное относительно А. з., продолжающего

(см. Полное топологическое пространство). Одним из основных современных методов изучения полей является вложение поля Кв прямое произведение пополнений по всем А. з. (см. Адель);поле Кплотно лежит в именно, если - нетривиальные неэквивалентные А. з. на поле К, a₁..., а _n - элементы из К и то существует такое что для всех (теорема аппроксимации для А. з.).

А. з. поля Кможет быть продолжено (вообще говоря неоднозначно) на любое алгебраич. расширение поля К. Если Кполно относительно А. з. а Л есть расширение Кстепени п, то продолжение на Lединственно и задается формулой для

Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [5] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969. В. И. Данилов.