Значение слова "АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ" найдено в 1 источнике

АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ

найдено в "Математической энциклопедии"

функция, у к-рой интегрируема ее абсолютная величина. Если функция АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №1 интегрируема по Риману на отрезке АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №2 то ее абсолютная величина интегрируема по Риману на этом отрезке и

АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №3

Аналогичное утверждение справедливо для функции ппеременных, интегрируемой по Риману на кубируемой области га-мерного евклидова пространства. Обратное утверждение для функций, интегрируемых по Риману, не справедливо: функция АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №4 равная 1 для рациональных хи - 1 для иррациональных, не интегрируема по Риману, а ее абсолютная величина интегрируема. Для функций, интегрируемых по Лебегу, дело обстоит иначе: функция АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №5 интегрируема по Лебегу (суммируема) на измеримом множестве Е n -мерного пространства тогда и только тогда, когда на этом множестве интегрируема по Лебегу ее абсолютная величина, при этом справедливо неравенство:

АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №6

В случае несобственных одномерных интегралов в смысле Римана или Лебега по промежутку АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №7 АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №8 (при условии, что функция f(x) интегрируема по Риману или, соответственно, по Лебегу на любом отрезке АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №9 ) из существования несобственного интеграла от абсолютной величины функции

АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №10

следует и существование интеграла

АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №11

но не наоборот (см.Абсолютно сходящийся несобственный интеграл). При этом, если существует несобственный интеграл

АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №12

то функция f(х).интегрируема по Лебегу на промежутке [ а, b).и несобственный интеграл от нее равен интегралу Лебега.

В случае функций многих переменных (число к-рых n>1) несобственные интегралы обычно определяются таким образом, что существование несобственного интеграла от абсолютной величины функции равносильно существованию несобственного интеграла от самой функции.

Пусть значения функции АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №13 принадлежат нек-рому банахову пространству с нормой АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №14 Тогда функция АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №15 наз. абсолютно интегрируемой на измеримом множестве Е, если существует интеграл

АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №16

при этом, если функция АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №17 интегрируема на Е, то

АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ фото №18

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк 9. Г., Основы математического анализа, ч. 1, 3 изд., М., 1971; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973; [3]Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; [4] Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972. Л.



Найдено 18 изображений:

Изображения из описаний на этой странице
T: 24