АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

- раздел геометрии, изучающий дифференциально-геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства.

В эквиаффинной плоскости каждые два вектора имеют инвариант - площадь параллелограмма, построенного на векторах С помощью этого понятия для кривой , отличной от прямой, строится инвариантный параметр

наз. экв и аффинной дугой.

Дифференциальный инвариант

наз. экв и аффинной кривизной плоской кривой. Постоянство эквпаффинной кривизны характеризует кривые 2-го порядка. Натуральное уравнение определяет кривую с точностью до эквиаффинного преобразования. Вектор направлен по аффинной нормали к плоской кривой; аффинная нормаль в точке касается геометрич. места середин хорд кривой, параллельных касательной в точке Ми совпадает с диаметром параболы, имеющей в точке Мсоприкосновение 3-го порядка с кривой.

При переходе к общей аффинной группе у кривой рассматривают два более сложных инварианта: аффинную дугу а и аффинную кривизну .Они могут быть выражены через введенные выше инварианты и :

(в эквиаффинной геометрии сами величины и для краткости наз. аффинной дугой и аффинной кривизной). Подобным же образом строятся центроаффинная дуга, пентроаффинная кривизна, эквицентроаффинная дуга и эквицентроаффинная кривизна плоской кривой.

В эквиаффинном пространстве каждым трем векторам может быть отнесен инвариант - объем ориентированного параллелепипеда, определяемого этими векторами. Натуральный параметр (эквиаффинная дуга) кривой определяется формулой

Дифференциальные инварианты где штрихи означают дифференцирование по натуральному параметру, наз. соответственно эквиаффинной кривизной и э к в и-аффинным кручением пространственной кривой. Изучение кривой сводится к выбору того или иного сожровождающего репера; особую роль играет репер, образвванный векторами

и определяемый дифференциальной окрестностью 4-го порядка рассматриваемой кривой. Разработана также центроаффинная теория пространственных кривых (см. [5]).

Для пвверхности в эквиаффинном пространстве, отличной от развертывающейся поверхности, строится тензор

где - символ ковариантной производной в связности с метрич. тензором , задает направление аффинной нормали к поверхности. Аффинная нормаль проходит через центр соприкасающейся квадрики Ли. Деривационные уравнения

определяют внутреннюю связность 1-го рода поверхности. Наряду с ней возникает внутренняя связность 2-го рода , определяемая деривационными уравнениями

где v - ковариантный вектор, определяющий касательную плоскость к поверхности и подчиненный условию

нормировки . Связности и являются сопряженными относительно тензора в смысле А. П. Нордена (см. [3]). Тензор

играющий также основную роль в проективной дифференциальной геометрии, позволяет построить симметрич. ковариантный тензор

Строятся также две основные формы поверхности: квадратичная форма

и кубическая форма Фубини- Пика

Эти формы связаны условием аполярности

Две такие формы, удовлетворяющие дополнительным дифференциальным условиям, определяют поверхность с точностью до эквиаффинных преобразований. Все эти положения обобщаются на многомерный случай.

В аффинном и эквиаффинном пространствах выделяется много специфич. классов поверхностей: аффинные сферы (у к-рых аффинные нормали образуют связку), аффинные поверхности вращения (аффинные нормали пересекают одну собственную или несобственную прямую), аффинные минимальные поверхности и др.

Помимо кривых и поверхностей, изучаются также иные геометрич. образы эквиаффинного пространства, напр, конгруэнции и комплексы прямых, векторные поля и др.

Наряду с эквиаффинной дифференциальной геометрией разрабатывается дифференциальная геометрия общей аффинной группы и других ее подгрупп как в трехмерном, так и в многомерном пространствах (центроаффин-ном, эквицентроаффинном, аффинно-симплектическом, биаффинном и т. д.).

Лит.:[1] Blaschke W., Affine Differentialgeometrie, В., 1923; [2] Salkowski E., Affine Differentialgeometrie. B.-Lpz., 1934; [3] Hорден А. П., Пространства аффинной связности, М.-Л., 1950; [4] Итоги науки. Геометрия. 1963, М., 1965, с. 3-64; [5] Широков П. А., Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959.

А. П. Широков.