Arithmetisch-geometrisches Mittel. Seien a und b zwei beliebige positive reelle Größen. Bildet man aus ihnen das arithmetische Mittel a1 = (a + b)/2 und das geometrische Mittel
dann aus a1 und b1 wieder das arithmetische und geometrische Mittel, nämlich
und
u.s.w., so nähern sich die Größen a1 a2, a3 ...und b1, b2, b3 ... einer gemeinsamen Grenze, welche nach Gauß das arithmetisch-geometrische Mittel von a und b genannt und mit M(a, b) bezeichnet wird. Es findet bei der Berechnung elliptischer Integrale Verwendung (s. etwa [3], § 44, S. 362 ff.); so ist z.B.
Zur direkten Bestimmung des arithmetischgeometrischen Mittels kann eine Tafel von[446] Gauß [1], S. 403, für die Größen M (1, sin φ) und ihre Logarithmen dienen, deren Argument 2φ ist. Man hat nämlich, wenn a > b und sin φ = b/a, M (a, b) = a · M (1, sin φ).
Literatur: [1] Gauß' Werke, 2. Aufl., Göttingen 1876, Bd. 3, S. 361403. [2] Borchardt, Ueber das arithmetisch-geometrische Mittel, Crelles Journal für Mathematik 1861, Bd. 58, S. 127. [3] Enneper, Elliptische Funktionen, Theorie und Geschichte, 2. Aufl., neu bearbeitet und herausgegeben von F. Müller, Halle a. S. 1890.
Mehmke.