интегральное уравнение
к к-рому сводится решение Абеля задачи. А.
где - заданные постоянные, - известная функция, а - искомая функция.Выражение наз. ядром А. и. у., или ядром Абеля. А. и. у. принадлежат к классу Вольтерра уравнений1-го рода. Уравнение
наз. А. и. у. с постоянными пределами. Если - непрерывно дифференцируемая функция, то А.
или, что то же самое, формулой
Формула (5) является решением А. и. у. (2) при более широких предположениях (см. [3], [4]). Так, в [3] показано, что если f(x).абсолютно непрерывна на отрезке [а, b], то А. и.
- интегральное ур-ние, где f ( х) - известная ф-ция, а - искомая ф-ция. Получено и решено Н. Абелем (N. Abel) в 1823 при рассмотрении движения материальной точки в вертик. плоскости под Действием силы тяжести. А. и. у. часто возникает при решении т. н.обратных задач, напр. при определении потенц. энергии до периоду колебаний или при восстановлении рассеивающего поля по эффективному сечению в классич. механике. А. и. у. относится к классу Вольтерры уравнений1-го рода, рассматривают также обобщённое А. и. у.
, где . Если f(x) - непрерывно дифференцируемая ф-ция, то это ур-ние имеет единств. непрерывное решение:
.
В классе обобщенных функций решение существует при любых .
Лит.: Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., 1959.
С. В. Молодцов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.