- алгебраическая группа
G, действующая регулярно на алгебраич. многообразии
V. Точнее, А. г. п. есть тройка
- морфизм алгебраич. многообразий, удовлетворяющий условиям:
для всех
и
g, (е- единица G). Если
определены над полем k, то
наз.алгебраич. группой k-преобразований. Напр.,
- присоединенное действие или действие посредством сдвигов, является А. г. п. Если
G - алгебраич. подгруппа в GL(n),
- ее естественное действие в аффинном пространстве
- А. г. п. Для всякой точки
через
обозначается орбита
х, а через
- стабилизатор
х. Орбита
не обязательно замкнута в
V, но всегда существуют замкнутые орбиты, напр, замкнутые орбиты минимальной размерности. Иногда под А. г. п. понимается алгебраич. группа
G, действующая рационально (но не обязательно регулярно) на алгебраич. многообразии V(это значит, что
- рациональное отображение, а выписанные выше свойства т выполнены для общих точек). Как показал А. Вейль [3], всегда существует многообразие
бирационально изоморфное Vи такое, что действие
индуцированное рациональным действием Gна
V, регулярно. Задачи описания орбит, стабилизаторов, полей инвариантных рациональных функций (см.
Инвариантов теория).и построения фактормногообразий являются основными в теории А. г. п. и имеют многочисленные применения.
Лит.: [1]Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Дьедонне Ж., Керрол Д ж., Мамфорд Д., Гее метрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974; [3] Well A., "Amer. J. Math.", 1955, v. 77, Ms 2, p. 355-91. В.