algebraische Gleichung,
allgemein jede Gleichung der Form f (z1, z2,. .., zn) = 0, in der f ein Polynom, im weiteren Sinn eine ganzrationale Funktion von n reellen oder komplexen Variablen z1, z2,. .., z n ist und die Koeffizienten des Polynoms oder der ganzrationalen Funktion Elemente eines vorgegebenen Körpers K sind. Der Grad der algebraischen Gleichung ist dabei gleich dem Grad des Polynoms. Die Lösbarkeit einer solchen algebraischen Gleichung hängt davon ab, welchem Zahlenkörper die zulässigen Lösungen (n -Tupel von Zahlen) angehören dürfen. Sind nur Lösungen aus der Menge ℝ der reellen Zahlen zugelassen, so ist nicht jede algebraische Gleichung lösbar.Durch algebraische Körpererweiterung (Körper) lässt sich aber jede algebraische Gleichung lösen (z. B. im Körper C der komplexen Zahlen). Einfache Beispiele für algebraische Gleichungen sind die in den kartesischen Koordinaten x, y der Ebene linearen Gleichungen ax + by + c = 0 und die quadratischen Gleichungen ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, die dort Geraden beziehungsweise reelle Kegelschnitte festlegen, sowie die zu algebraischen Flächen führenden Gleichungen.
Im Fall einer unabhängigen Variablen x bezeichnet man im engeren Sinn als algebraische Gleichung jede Gleichung der Form
wobei die Koeffizienten a0, a1,. .., an zumeist reelle Zahlen sind und an ≠ 0 vorausgesetzt wird, sodass n den Grad dieser algebraischen Gleichung beziehungsweise des Polynoms Pn (x) angibt; einige der übrigen Koeffizienten können dabei gleich null sein. Nicht jede algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat reelle Zahlen als Lösungen; z. B. hat das Polynom P2 (x) = x2 + 1 keine Nullstelle auf der reellen Achse und damit die Gleichung P2 (x) = x2 + 1 = 0 keine reelle Lösung. Gibt es aber für eine solche algebraische Gleichung eine reelle Lösung x1, so lässt sich stets eine Zerlegung Pn (x) = (x — x1) Q (x) beziehungsweise Pn (x) = (x — x1)r Q (x) bei einer r -fachen Lösung x1 vornehmen, worin Q (x) ein Polynom vom Grad n — 1 beziehungsweise n — r ist (r Vielfachheit der Lösung x1). Gibt es keine oder nur einige reelle Lösungen, so sind alle Lösungen beziehungsweise die übrigen Lösungen im Körper C der komplexen Zahlen zu finden, denn es gilt der Fundamental- oder Hauptsatz der Algebra: Jede algebraische Gleichung n -ten Grades Pn (x) = 0 mit komplexen Koeffizienten hat in C genau n Lösungen x1, x2,. .., xn, wenn man jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit zählt. Es gilt die Zerlegung in Linearfaktoren: Pn (x) = (x — x1) (x — x2 ) ··· (x — xn), woraus durch Ausmultiplizieren die vietaschen Wurzelsätze als Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen folgen. Die Lösung einer algebraischen Gleichung erhält man für die Grade n = 2, 3 und 4 durch Ziehen der Wurzeln des betreffenden Grades (cardanische Formeln); daher bezeichnet man auch allgemein die Lösungen einer algebraischen Gleichung als ihre Wurzeln. Für n > 4 sind nach einem Satz von N. H. Abel die algebraischen Gleichungen nicht mehr durch allgemein gültige Wurzelausdrücke auflösbar (Algebra, Galois-Theorie).