ОТНОШЕНИЕ

ОТНОШЕНИЕ, фплос. категория, выражающая характер расположения элементов определённой системы и их взаимозависимости; эмоционально-волевая установка личности на что-либо, т. е. выражение её позиции; мысленное сопоставление различных объектов или сторон данного объекта.

Диалектич. материализм исходит из того, что О. носит объективный и универсальный характер. В мире существуют только вещи, их свойства и О., к-рые находятся в бесконечных связях и О. с др. вещами и свойствами. В. И. Ленин называет верной мысль Гегеля о том, что всякая конкретная вещь состоит в различных отношениях ко всему остальному (см. Поли. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 124). О. образуют системы различной степени сложности из соответствующих элементов, при этом одно и то же О. может быть в различных вещах (внутренние О.) или между различными вещами (внешние О.). Примером является любой закон как существенное О. между вещами, явлениями. И, наоборот, одна и та же вещь может вступать в бесконечно разнообразные О. с др. вещами, что характеризует множественность свойств у той или иной вещи. Любую вещь можно рассматривать как соотношение составляющих её элементов, с изменением к-рого меняется и сама вещь. Напр., различное расположение одних и тех же элементов в словах "кот" и "ток" делает эти слова различными. Вместе с тем любое О. характеризует именно те вещи, между к-рыми оно существует. Напр., О. "меньше" или "больше" характеризует величины; О. "южнее" - место расположения чего-либо по отношению к иному; О. "отец" - характер родства и т. п. Следовательно, О. может выступать в роли свойства, признака вещей. Вещь, взятая в разных О., выявляет разные и даже противоположные свойства. О. предметов и явлений друг к другу бесконечно многообразны (пространственные, временные, причинно-следственные, О. части и целого, формы и содержания, внешнего и внутреннего и др.). Особый тип О. составляют общественные отношения.

Науч. мышление раскрывает суть вещей, закономерность их возникновения и развития через выявление их О. с др. вещами. Характеризуя элементы диалектики, В. И. Ленин указывал на необходимость исследования О.: "Вся совокупность многоразличных отношений этой вещи к другим", "отношения каждой вещи... не только многоразличны, но всеобщи, универсальны. Каждая вещь (явление, процесс...) связаны с каждой; бесконечный процесс раскрытия новых сторон, отношений..." (там же, с. 202-03). В связи с возрастанием роли системноструктурных методов исследования категория О. приобретает всё большее значение в совр. науке. А. Г. Спиркин.

О. в логике. В содержательных формулировках естественных языков О. выражается обычно сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или одно подлежащее с дополнениями); в зависимости от числа этих подлежащих (и дополнений) их наз. членами, субъектами или элементами данного О.; различают двуместные (бинарные, двучленные) О. ("а меньше b", "Ока короче Волги", "рельсы параллельны между собой" и т. п.), трёхместные (тернарные, трёхчленные; "точка Л лежит между В и С", "5 есть сумма2и 3"), четырёхместные ("числа х₁, y₁, x₂ и y₂ пропорциональны"), вообще п-местные (n-арные, n-членные) О. Эти содержательные представления реализуются в точных терминах теории множеств (алгебры) и матем. логики; первое из этих уточнений отражает экстенсиональный (объёмный) аспект понятия О., второе - интенсиональный (смысловой, содержательный). В теоретико-множественных терминах бинарным (n-арным) О. наз. множество упорядоченных пар (соответственно упорядоченных к-ок) членов нек-рого множества (поля данного О.). Если упорядоченная пара (x, у) принадлежит нек-рому О. R, то говорят также, что х находится в О. R к у [символически: R(xy) или xRy]; множество первых элементов упорядоченных пар, входящих в О. R, составляет его область определения (отправлени я), множество вторых элементов - область значений (прибытия); аналогичные понятия вводятся и для многоместных О. Отношение, состоящее из пар (у, х), полученных перестановкой членов данного О. R пар (х, у), наз. обратным к К и обозначается через R^-1; область значений одного из этих взаимно-обратных О. [термин оправдан тем, что всегда (R^-1)^-1=R] служит областью определения другого, а область определения - областью значений. Поскольку О. являются частными случаями множеств, для них обычным образом вводятся теоретико-множественные операции, в частности объединение, пересечение и дополнение О. (см. Множеств теория). Рассмотрим нек-рые свойства и основные типы важнейшего (для приложений и теоретич. построений) класса О.- бинарных О.

Свойства бинарных О. Пусть К = (х, у). Если для любого х верно xRx, то R наз. рефлексивным (примеры: О. равенства чисел - каждое число равно самому себе, подобие треугольников и т. п.). Если для любого х xRy не имеет места (символически: xRy), то R наз. антирефлексивным, или иррефлексивным (напр., О. перпендикулярности прямых - никакая прямая не перпендикулярна самой себе). Если для любых не равных между собой х и у одно из них находится в отношении R к другому (т. е. выполнено одно из трёх соотношений xRy , х = у или yRx), то R наз. связанным (напр., О. <). Если для любых x и y из xRy следует yRx, то R наз. симметричным (напр., О. равенства = или О. неравенства ^). Если для любых х и y из xRy и xR^-1y следует х = у (т. е. R и R^-1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов), то R наз. антисимметричным (напр., О. =< и >= для любых объектов). Если для любых х и у из xRy следует хRy, то R наз. асимметричным (таковы, напр., О. < и > , поскольку никакой объект не больше и не меньше себя). Если для любых х, у и z из xRy и yRz следует xRz, то R наз. транзитивным (таковы, напр., О. = или <, но не не равно ). Можно было бы определить и др. свойства бинарных О., но нетрудно показать, что уже через эти свойства посредством логических операций определяются все прочие.

Типы отношений. Значит, часть приводимых ниже типов О. уже встречалась выше в примерах. Сочетание свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности приводит нас к важнейшему типу О.- это О. типа равенства (тождества, эквивалентности). Нетрудно показать, что любое такое О. индуцирует (определяет) разбиение множества, на к-ром оно определено, на непересекающиеся классы - т. н. классы эквивалентности: элементы, связанные данным О., попадают в общий класс, не связанные- в различные. Т. о., элементы, попавшие в общий класс, в известном смысле неразличимы, что и определяет важность этого типа О.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; У е м о в А. И., Вещи, свойства и отношения, М., 1963; Ш р е и д е р Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971. Ю. А. Гастев.

ОТНОШЕНИЕ двух чисел, частное от деления первого числа на второе. О. двух однородных величин наз. число, получающееся в результате измерения первой величины, когда вторая выбрана за единицу меры. Если две величины измерены при помощи одной и той же единицы меры, то их О. равно О. измеряющих их чисел.

О. длин двух отрезков может выражаться рациональным или иррациональным числом. В первом случае отрезки наз. соизмеримыми, а во втором - несоизмеримыми. Математики древнего мира не знали иррациональных чисел; для них понятие О. двух отрезков не сводилось к понятию числа; не зависимая от понятия числа геометрич. теория О. величин играла у них самостоят, роль и заменяла в известном смысле теорию действительных чисел (см. Число). Действительно, по Евклиду, четыре отрезка а, b, а‘, b‘ составляют пропорцию а : b = а‘ : b‘, если для любых натуральных чисел т и п выполняется одно из соотношений ma = nb, та > nb, та < пb всякий раз одновременно с соответствующим соотношением та‘ = пb‘, та‘ > пb‘ или та‘ < пb‘. В случае несоизмеримости а и b это означает, что разбиение всех рациональных чисел (х=т/п) на два класса по признаку а > xb или а < хb совпадает с разбиением по признаку а‘ > xb‘ или а‘ < xb‘- в этом состоит идея современной теории дедекиндовых сечений. О двойном (иначе - сложном, ангармоническом) О. см. Двойное отношение.