МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
i0, j0 называются оптимальным и чистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если υ1 ≠ υ2, то всегда υ1 < υ2; в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (то есть вероятностных распределений на множестве чистых стратегий).В этом случае игроки оперируют уже с математическими ожиданиями выигрышей.
i0 = 2, j0 = 1, а значение игры равно 2; игра с матрицей 
х* = (3/4, 1/4), y* = (1/2, 1/2); значение игры равно 1/2.
МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ, понятие игр теории. М. и. - игры, в к-рых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет т стратегий, а игрок II -п стратегий, то игра может быть задана (m x n)-матрицей А = || aij ||, где aij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (z = 1, ...,т), а игрок II -стратегию j (j = 1, ..., га). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (частным случаем к-рых являются М. и.), игрок I стремится выбрать такую стратегию i0, на к-рой достигается
игрок II стремится выбрать стратегию j0, на к-рой достигается
Если Vi = V2, то пара (i0, j0) составляет седловую точку игры, Т: е. выполняется двойное неравенство aij0< ai0j0<ai0j i=1,...,m; j=1,...,n Число ai0j0 наз. значением игры; стратегии i0, j0 наз. оптимальными чистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если v1 не равно v2, то всегда v1 <v2 в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (т. е. вероятностных распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с матем. ожиданиями выигрышей.
Основная теорема теории М.
и. (теорема Неймана о мини максе) утверждает, что в любой М. и. существуют
оптимальные смешанные стратегии х*, у*, на к-рых достигаемые «минимаксы»
равны (общее их значение есть значение игры). Напр., игра с матрицей 
Для фактич. нахождения оптимальных смешанных стратегий чаще всего используют возможность сведения М. и. к задачам линейного программирования. Можно использовать т. н. итеративный метод Брауна - Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном разыгрывании» данной игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий, наилучших против накопленных к этому моменту стратегий оппонента. Игры, в к-рых один из игроков имеет только две стратегии, просто решить графически.
М. и. могут служить математич. моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математич. статистики, воен. дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают «природу», под к-рой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).
Лит.: Матричные игры. [Сб. переводов], под ред. Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Д ж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, пер. с англ., М., 1971. А. А. Корбут.