РЕГРЕССИЯ

РЕГРЕССИЯ в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения к.-л. величины от нек-рой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f (х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = x_i наблюдается n_iзначений y_i1, ..., yin_i величины у, то зависимость средних арифметических y_i = = (у_i1+ ... + уin_i)/n_i от x_i и является Р. в статистич. понимании этого термина. Примером такого рода зависимости служит, в частности, зависимость средних диаметров сосен от их высот; см. табл. в ст. Корреляция.

Изучение Р. в теории вероятностей основано на том, что случайные величины X и У, имеющие совместное распределение вероятностей, связаны вероятностной зависимостью: при каждом фиксированном значении X = х величина У является случайной величиной с определённым (зависящим от значения х) условным распределением вероятностей. Р. величины У по величине X определяется условным математич. ожиданием У, вычисленным при условии, что X = х:

Е(У | х) = и(х).

Уравнение у = и (х), в к-ром х играет роль "независимой" переменной, наз. уравнением регрессии, а соответствующий график - линией регрессии величины У по X. Точность, с к-рой уравнение Р. У по X отражает изменение У в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины У, вычисленной для каждого значения X = х:

D(У | х) = o²(x).

Если o² (х) = 0 при всех значениях х, то можно с достоверностью утверждать, что У и X связаны строгой функциональной зависимостью У = и (X). Если o²(х) не равно 0 при всех значениях х и и (х) не зависит от х, то говорят, что Р. У по X отсутствует. Аналогичным образом определяется Р. X по У и, в частности, уравнение Р. х = v (у), где v (у) = = Е (Х|У = у). Функции у = и (х) и х = v (у), вообще говоря, не являются взаимно обратными.

Линии Р. обладают следующим замечательным свойством: среди всех действительных функций f (х) минимум математич. ожидания Е [У - f(X)]² достигается для функции f(x) = и(х), т. е. Р. У по X даёт наилучшее, в указанном смысле, представление величины У по величине X. Это свойство используется для прогноза У по X: если значение У непосредственно не наблюдается и эксперимент позволяет регистрировать лишь компоненту X вектора (X, У), то в качестве прогнозируемого значения У используют величину и (X).

Наиболее простым является тот случай, когда Р. У по X линейна:

Е(У| х) = B_о + B₁x.

Коэффициенты B_o и B₁, наз. коэффициентами регрессии, определяются равенствами

где m_x и т_у - математич. ожидания X и Y, о_х² и о_у² - дисперсии X и У,

а р - коэффициент корреляции между X и Y. Уравнение Р. при этом выражается формулой

В случае, когда совместное распределение X и У нормально, обе линии Р. у = и(х) и х = v (у) являются прямыми.

Если Р. У по X отлична от линейной, то последнее уравнение есть линейная аппроксимация истинного уравнения Р.: математич. ожидание Е [У - b_o - b₁X]² достигает минимума по b_о и b₁ при b_o = = B_o и b₁ = B₁. Особенно часто встречается случай уравнения Р., выражающегося линейной комбинацией тех или иных заданных функций:

Наиболее важное значение имеет параболическая (полиномиальная) Р., при к-рой

ф_о (x) = 1, ф₁(x) = x, ..., ф_m (x)= x^m.

Понятие Р. применимо не только к случайным величинам, но и к случайным векторам. В частности, если У - случайная величина, а X = (X₁, ..., X_k) -  случайный вектор, имеющие совместное распределение вероятностей, то P. Y по X определяется уравнением

у = и (x₁, ..., х_k), где

то Р. наз. линейной. Эта форма уравнения Р. включает в себя мн. типы Р. с одной независимой переменной, в частности полиномиальная Р. У по X порядка k сводится к линейной Р. У по X₁, ..., Х_k, если положить X_k = X^k.

Простым примером Р. У по X является зависимость между У и X, к-рая выражается соотношением: У = и (X) + o, где и (х) = Е (У|Х = х), а случайные величины X и 6 независимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи у = и (х) между неслучайными величинами у и х.

На практике обычно коэффициенты Р. в уравнении у = и (х) неизвестны и их оценивают по экспериментальным данным (см. Регрессионный анализ).

Первоначально термин "Р." был употреблён англ. статистиком Ф. Гальтоном (1886) в теории наследственности в следующем специальном смысле: "возвратом к среднему состоянию" (regression to mediocrity) было названо явление, состоящее в том, что дети тех родителей, рост к-рых превышает среднее значение на а единиц, имеют в среднем рост, превышающий среднее значение меньше чем на а единиц.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Кендалл М. Дж. , Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973. А. В. Прохоров.

РЕГРЕССИЯ моря (от лат. regressio - обратное движение, отход), отступание моря от берегов. Происходит в результате поднятия суши, опускания дна океана или уменьшения объёма воды в океанич. бассейнах (напр., во время ледниковых эпох). Р. происходили многократно в различных районах Земли на протяжении всей её истории. См.. также Трансгрессия.