Differenzialrechnung,
Teilgebiet der Analysis, das die Grundlage sowohl für viele mathematische Disziplinen als auch für eine Vielzahl von mathematischen Methoden in den verschiedenen Wissenschaftsbereichen bildet, v. a. in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften.
Man gelangt geometrisch zur Differenzialrechnung durch die Aufgabe, die Tangente an eine Kurve in einem gegebenen Kurvenpunkt als Grenzlage der Sekanten durch diesen Punkt zu definieren, physikalisch z.B. durch die Aufgabe, die Geschwindigkeit eines ungleichförmig bewegten Körpers in einem bestimmten Zeitpunkt anzugeben. Beide Aufgaben haben das Ziel, die Schnelligkeit der Änderung einer in einem räumlichen (geometrisches Beispiel) oder zeitlichen (physikalisches Beispiel) Intervall variablen Größe an einer Stelle des Intervalls zu bestimmen. Das ist nur dann möglich, wenn die Größe durch eine Funktion y = f (x) beschreibbar ist, deren Argument x die einzelnen Stellen des Intervalles festlegt. In der Differenzialrechnung einer reellen Variablen vergleicht man die Differenz Δf = f (x) — f (x0) der zu zwei Werten x und x0 des Arguments gehörenden Funktionswerte f (x) und f (x0) mit der Differenz Δx = (x — x0) dieser Argumentwerte, wobei man Δx dem Betrag nach beliebig klein, aber nicht null werden lässt. Das Verhältnis beider Differenzen, der Differenzenquotient, braucht dabei selbst nicht null zu werden. Eine Funktion heißt in einem Punkt x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert
existiert. Man bezeichnet diesen Grenzwert als den Differenzialquotienten oder die Ableitung der Funktion f (x) für x = x0 und schreibt: oder dy / dx (gesprochen:dy nach dx) oder oder y' oder f' (x0); die Berechnung von bezeichnet man als Differenziation. Aus der Differenzierbarkeit von f in x0 folgt die Stetigkeit in x0, aber nicht umgekehrt. Z. B. ist die Funktion f (x):= |x| in x0 = 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Ist die Funktion f an jeder Stelle des betrachteten Intervalls differenzierbar, so ergibt sich in der Zuordnung x → f ' (x) eine neue Funktion f ' von x. Sie heißt die Derivierte oder die (erste) Ableitung der Funktion f (x).
Zweite und höhere Ableitungen erhält man durch Differenziation der ersten Ableitung, und man schreibt für die zweite Ableitung y'' oder f '' (x) oder für die n-te Ableitung Die geometrische Darstellung einer differenzierbarenFunktion y = f (x) ist eine ebene Kurve. Das Verhältnis der Funktionsdifferenz Δy zur zugehörigen Argumentdifferenz Δx ist der Tangens der zugehörigen, durch die Kurvenpunkte P und Q gehenden Sekante: tan α = Δy / Δx. Lässt man Δx immer kleiner werden, wobei man den Punkt P festhält, so geht die Sekante schließlich in die Kurventangente in P über, die eine ganz bestimmte Neigung α0 besitzt. Dieser Neigung entspricht der Grenzwert, gegen den die Differenzenquotienten Δy /Δx konvergieren, wenn der Nenner und, abhängig von ihm, der Zähler immer kleiner werden.
Zentrale Fragestellungen der Differenzialrechnung, nämlich aus dem Verhalten der Ableitung auf das Verhalten der Funktion selbst zu schließen, können auf der Grundlage von Sätzen, die sich um den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung gruppieren, beantwortet werden. So lässt sich z. B. unter gewissen Voraussetzungen aus dem Vorzeichen der Ableitung auf das Monotonieverhalten schließen, oder es lassen sich mithilfe der Ableitung lokale Extremwerte (Extremum) aufsuchen.
Man hat die Differenzialrechnung mitunter das Rechnen mit »unendlich kleinen Größen« genannt und bezeichnet sie demgemäß zusammen mit der Integralrechnung als Infinitesimalrechnung. Doch ist diese Bezeichnung irreführend, da alle Größen, mit denen in der Differenzialrechnung gerechnet wird, stets ungleich null bleiben. Die Auffassung des Differenzialquotienten dy / dx als Quotienten der beiden Differenziale dy und dx erfordert eine sorgfältige begriffliche Präzision.
Für das Differenzieren zusammengesetzter Funktionen gelten die folgenden Regeln:
1) Summenregel: [g (x) + h (x)]' = g' (x) + h' (x)
2) Produktregel:
3) Quotientenregel:
4) Kettenregel für eine aus zwei Funktionen g und u zusammengesetzte Funktion y = g (u (x)):
Für die Ableitungen einiger elementarer Funktionen gilt:
c' = 0 wenn c konstant,
(axn)' = a · n xn-1 (a, n beliebige reelle Zahlen),
(sin x)' = cos x und (cos x)' = —sin x,
(ex)' = ex,
(ax)' = ax ln a (a reelle Zahl > 0),
(ln x)' = 1/x.
Beispiel zu Regel 3): Für (tan x)' ergibt sich
Beispiel zu Regel 4): Bei y = sin 2x ist u (x) = 2x, g (u) = sin u, somit u' = 2, g' = cos u und folglich y' = 2 cos 2x.
In der Differenzialrechnung mehrerer Variabler definiert man z. B. bei einer Funktion f (x1, x2) als partielle Ableitung den Differenzialquotienten derjenigen Funktion einer Variablen x1, die man erhält, wenn man die zweite Variable konstant hält, analog Für schreibt man mitunter auch und. Der Beziehung dy = f' · dx entspricht bei zwei Variablen die Differenzialform dy = · dx1 + · dx2.
Geschichte:
Die wichtigsten, schon vor der Erfindung des Infinitesimalkalküls behandelten Aufgaben aus der Differenzialrechnung waren die Bestimmung von Tangenten und Extremwerten ebener Kurven. Schon im Altertum hatte Archimedes die Tangente an die nach ihm benannte Spirale konstruiert, während Apollonios von Perge beim Studium der Kegelschnitte auch deren Tangenten und Normalen untersuchte. R. Descartes löste das Tangentenproblem bei algebraischen Kurven auf algebraischem Wege, ohne infinitesimale Überlegungen. Solche liegen dagegen der Tangentenmethode P. de Fermats zugrunde, während sich G. P. de Roberval und E. Torricelli einer auf kinematische Vorstellungen beruhenden »mechanischen Tangentenregel« bedienten. Um 1660 wurde allgemein die Tangente an eine algebraische Kurve f (x, y) = 0 nach einer zuerst von R. F. Sluse veröffentlichten Regel bestimmt, die mit der Ausführung partieller Differenziationen gleichwertig ist. Unter den von I. Newton seit 1664 gewonnenen selbstständigen Ergebnissen ist besonders die Potenzreihenmethode wichtig, die er auch bald mit der Tangentenregel in Verbindung brachte. Nach mehreren Versuchen entschied er sich erst seit 1691 endgültig für die Verwendung von Symbolen wie ẏ für den Differenzialquotienten (auch als »Fluxion«, d. h.Fluss der Funktion oder »Fluente« y bezeichnet). Leibniz erzielte nach fast dreijährigem intensivem Studium 1675 den entscheidenden Durchbruch: die Erfindung des Infinitesimalkalküls, entstanden in Analogie zur algebraischen Zeichensprache als Teil einer geplanten umfassenden Begriffsschrift (characteristica universalis). Die Quotientenbezeichnung für den Anstieg der Tangente, das Integrationssymbol ∫ (ausdemAnfangsbuchstaben s für summa = Summe entstanden) und die daraus weiterentwickelte, noch heute gebräuchlichen Symbolik der Analysis wurde v. a. durch Johann und Jakob Bernoulli auf dem Kontinent verbreitet. Dritter unabhängiger Entdecker wichtiger Teile der Infinitesimalrechnung, darunter auch der Reihenlehre (seit 1668), war der Schotte J. Gregory; doch verhinderte sein früher Tod, dass seine (damals nicht veröffentlichten) Arbeiten die Entwicklung der Infinitesimalrechnung entscheidend beeinflussen konnten.
Große Fortschritte erzielten im 18. Jahrhundert besonders L. Euler und J. L. de Lagrange (Analysis). Im 19. Jahrhundert bemühten sich A. L. Cauchy und B. Bolzano um eine strengere Grundlegung der Infinitesimalrechnung; dieses Bestreben konnte erst auf der Basis der von G. Cantor begründeten Mengenlehre und der dirichletschen Theorie der reellen Zahlen erfolgreich abgeschlossen werden. 1949 hat L. Schwartz in seiner Theorie der Distributionen die Differenzialrechnung dadurch weiterentwickelt, dass er auch den nichtdifferenzierbaren Funktionen etwas Ähnliches wie eine Ableitung zuschrieb.
Literatur:
J. E. Hofmann: Gesch. der Mathematik, 3 Bde. (1-21957-63);
R. Courant: Vorlesungen über Differential- u. Integralrechnung, 2 Bde. (41971-72);
H. Cartan: Differentialrechnung (a. d. Frz., 1974);
J. A. Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis, 9 Bde. (a. d. Frz. u. Engl., 1-31976-87);
H. Grauert u. a.: Differential- u. Integralrechnung, 3 Bde. (2-41976-78).