АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ (от лат. affinis - родственный), раздел геометрии, в к-ром изучаются свойства фигур на плоскости (или в пространстве), сохраняющиеся при любых аффинных преобразованиях плоскости (или пространства). Примером такого преобразования является преобразование подобия. Свойства геометрич. фигуры, к-рые сохраняются при любых аффинных преобразованиях, естественно назвать а ф ф и н н ыми инвариантами этой фигуры. Основным аффинным инвариантом является простое отношение трёх точек M₁, M₂, M₃, лежащих на одной прямой. Если х₁, x₂, x₃ соответственно абсциссы этих точек (см. Аналитическая геометрия), то простое отношение равно (x₂-X₁)/(x₃-Х₂). Аффинные инварианты любой системы, состоящей из п точек (n>4), могут быть выражены через простые отношения. Отсюда, в частности, вытекает, что центр тяжести геометрич. фигуры сохраняется при аффинных преобразованиях. При произвольных аффинных преобразованиях параллельные прямые остаются параллельными. Методами и фактами А. г. широко пользуются в различных разделах естествознания (механика, теоретич. физика, астрономия). Напр., малые деформации непрерывной среды, упругой в первом приближении, можно исследовать методами А. г.

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961. Э. Г. Позняк.

раздел геометрии, в к-ром изучаются свойства фигур, инвариантные относительно аффинных преобразований. Напр., простое отношение трех точек, лежащих на одной прямой, параллельность прямых (плоскостей). Впервые свойства геометрич. образов, переходящих друг в друга при аффинных преобразованиях, изучались А. Ф. Мёбиусом в 1-й пол. 19 в.; однако понятие "А. г." возникло лишь после появления в 1872 эрлангенской программы, согласно к-рой каждой группе преобразований отвечает своя геометрия, изучающая свойства фигур, инвариантные относительно преобразований этой группы. Группа аффинных преобразований содержит различные подгруппы, в связи с чем наряду с общей А. г. возникли подчиненные ей геометрии, отвечающие этим подгруппам: эквиаффинная геометрия, цен-троаффинная геометрия и др. В А. г. изучаются также вопросы дифференциальной геометрии, отвечающие той или иной аффинной подгруппе преобразований (см. Аффинная дифференциальная геометрия).

Лит.:[1]Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961. Е. В. Шикин.

(от лат. affinis - род ственный), раздел геометрии, изучающий свойства фигур, сохраняющиеся при любых аффинных преобразованиях.

• afinní geometrie