СИМПЛЕКС

СИМПЛЕКС (от лат. simplex - простой) (матем.), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений п. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в т. ч. неправильный, тетраэдр. Под двумерным С. понимают произвольный треугольник, а под одномерным - отрезок. Нульмерный С. есть просто одна точка. n-мерный С. имеет п + 1 вершин, не принадлежащих ни к какому (п - 1)-мерному подпространству того евклидова пространства (с числом измерений п или больше), в к-ром лежит данный С. Обратно, всякие п + 1 точек евклидова n-мерного пространства R^m, т >= п, не лежащие ни в каком подпространстве менее п измерений, однозначно определяют и-мерный С. с вершинами в заданных точках е₀, е₁, ..., е_п; он может быть определён как выпуклое замыкание совокупности заданных п + 1 точек, т. е. как пересечение всех выпуклых тел пространства R^m, содержащих эти точки. Если в пространстве R^m дана система декартовых координат x₁, x₂, ..., х_т, в к-рой вершина e_i, i= О, 1, ..., п, имеет координаты x⁽ⁱ⁾₁, x⁽ⁱ⁾₂, х⁽ⁱ⁾m, то С. с вершинами е_о, e₁, ..., е_n состоит из всех точек пространства, координаты к-рых имеют вид:

извольные неотрицательные числа, дающие в сумме 1. По аналогии со случаем п<=З можно сказать, что все точки С. с данными вершинами получаются, если в эти вершины поместить произвольные неотрицательные массы (из к-рых по крайней мере одна отлична от нуля) и взять центр тяжести этих масс (дополнительное требование, чтобы сумма всех масс равнялась 1, исключает лишь случай, когда все массы - нулевые).

Любые r + 1 вершин, 0<=r<=п - 1, взятые из числа данных п + 1 вершин n-мерного С., определяют нек-рый r-мер-ный С.- r-мерную грань данного С. Нульмерные грани С. суть его вершины, одномерные грани наз. рёбрами.

Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; П о н т р я г и н Л. С., Основы комбинаторной топологии, М.-Л., 1947, с. 23-31.

- топологическое пространство | А|, точками к-рого служат неотрицательные функции , определенные на конечном множестве Аи удовлетворяющие условию . Топология в | А| полагается индуцированной из - пространства всех функций из Ав . Действительное число j(а) наз. а-й барицентрической координатой точки j, размерностью симплекса | А| наз. число car dA-1. В случае, когда Аявляется линейно независимым подмножеством евклидова пространства, симплекс | А| гомеоморфен выпуклой оболочке множества А(гомеоморфизм задается соответствием ). В связи с этим выпуклая оболочка линейно независимого подмножества евклидова пространства наз. евклидовым С.

Для любого отображения конечных множеств формула , определяет непрерывное отображение , являющееся для евклидовых С. аффинным (неоднородным линейным) отображением, продолжающим отображение f. Этим задается функтор из категории конечных множеств в категорию топологич.пространств. Если и - соответствующее вложение, то |i| - гомеоморфизм на замкнутое подмножество, наз. гранью симплекса | А| и обычно отождествляемое с |В|. Нульмерные грани наз. вершинами (как правило, вершины отождествляются с элементами множества А).

Топологическим упорядоченным С. наз. топологич. пространство X, для к-рого задан гомеоморфизм , где Dⁿ - стандартный симплекс. Образ граней Dⁿ при гомеоморфизме hназ. гранью топологического упорядоченного симплекса X. Отображение топологических упорядоченных симплексов Xи Yназ. линейным, если оно имеет вид , где kи h - заданные гомеоморфизмы, F - произвольное отображение вида |f|.

Топологическим С. (размерности n) наз. топологич. пространство X, наделенное (n+1)! гомеоморфизмами (то есть (n+1)! структурами топологического упорядоченного С.), отличающимися на гомеоморфизмы вида |f|, где f - произвольная перестановка вершин. Аналогично, отображение топологического С. наз. линейным, если оно является линейным отображением соответствующих топологических упорядоченных С.

С. наз. также элементы симплициальных множеств и отмеченные подмножества симплициальных схем.

А. В. Хохлов.