boolesche Algebra
['buːl-], ursprünglich ein System der von G. Boole begründeten Algebra der Logik. In der heutigen Mathematik versteht man unter boolescher Algebra einen booleschen Verband oder die Theorie der booleschen Verbände. Während die boolesche Algebra früher nur in der mathematischen Logik ihre Anwendung fand, ist sie heute durch die Entwicklung der Computertechnik in Form der Schaltalgebra die mathematische Grundlage von digitalen Rechen- und Steuerschaltungen.
Literatur:
H.-P. Gumm u. W. Poguntke: B. A. (1981);
E. Mendelson: B. A. u. log. Schaltungen (a. d. Amerikan., 1982);
T. Hailperin: Boole's logic and probability. A critical exposition from the standpoint of contemporary algebra, logic and probability theory (Amsterdam 21986).
boolesche Algebra
[aus arab.algabr, eigtl. »die Einrenkung (gebrochener Teile)«] die, ein Zweig der Algebra (der mathematischen Theorie der Verknüpfungen), bei der die Elemente einer vorgegebenen Menge durch so genannte boolesche Operatoren verknüpft werden. Das sind die logischen Verknüpfungen »Und« (And) und »Oder« (Or) zwischen zwei Elementen und die »Negation« (Verneinung, Umkehrung, »Not«), die sich nur auf ein Element auswirkt. Die Ergebnisse der Anwendung einzelner Operatoren werden in Wahrheitstabellen dargestellt. Für die sukzessive Verknüpfung von mehr als zwei Elementen mit den booleschen Operatoren gelten Rechenregeln, die logischen Schlüssen entsprechen (Logik), weshalb man die boolesche Algebra auch als boolesche Logik bezeichnet und eine Verknüpfung durch boolesche Operatoren gemäß der booleschen Algebra als logische Operation. Mit boolescher Logik lassen sich z. B. komplizierte Folgen von Verknüpfungen zwischen Elementen vereinfachen. Ein entscheidender Aspekt der booleschen Algebra besteht darin, dass sich alle vernünftigen logischen Verknüpfungen zwischen einer endlichen Anzahl von Elementen aus Kombinationen der drei booleschen Operatoren (»Und«, »Oder«, »Negation«) zusammensetzen lassen.
Als boolesche Ausdrücke, boolesche Größen, boolesche Datentypen und boolesche Variablen bezeichnet man diejenigen in Programmiersprachen verwendeten Ausdrücke, Größen, Datentypen und Variablen, die nur zweier Werte fähig sind, wobei diese meist als wahr und falsch bezeichnet werden. Boolesche Ausdrücke werden gemäß der booleschen Algebra ausgewertet. Aussagen, die entweder wahr oder falsch sind, und ihre Verknüpfungen gehören ebenfalls zu den booleschen Ausdrücken. Man findet sie z. B. in den Bedingungen für eine Verzweigung, etwa einer If-Konstruktion (If...Then... Else). Suchmaschinen, bei denen verschiedene Abfragekombinationen möglich sind, verknüpfen die einzelnen Abfragepunkte gewöhnlich gemäß der booleschen Algebra. In der Praxis werden zusätzlich die Vergleichsoperatoren , = eingesetzt und bisweilen weitere, nicht unbedingt nötige logische Operatoren, um eine einfache Schreibweise zu ermöglichen. Eine Xor-Operation (Exclusive Or) lässt sich z. B. durch Or, And, Not und = darstellen. Die Operation A Xor B entspricht gerade der Operation (A Or B) And Not A=B.
Können die zu verknüpfenden Elemente nur zwei Werte annehmen - etwa 0 und 1 -, spricht man statt von einer booleschen Algebra auch von einer Schaltalgebra. Die beiden Werte 0 und 1 repräsentieren in einer elektronischen Schaltung die zwei möglichen Zustände »ein« und »aus«. Die Schaltalgebra stellt die mathematische Grundlage der digitalen Datenverarbeitung auf einer maschinennahen Ebene dar. Denn Daten werden durch Folgen von Nullen und Einsen dargestellt, die den Elementen der Schaltalgebra entsprechen. Alle Rechenoperationen zwischen Daten können und werden auf Maschinenebene als Folge von booleschen Operationen dargestellt und die Ergebnisse der Operationen sind wieder Folgen von Nullen und Einsen. Beispiele hierzu sind der Halb- und der Volladdierer (Addierer).