DREIECK

Dreieck,

 

1) Astronomie: 1) (Nördliches) Dreieck, lateinisch Triangulum, Abkürzung Tri, ein Sternbild am Nordhimmel, südlich des Sternbilds Andromeda gelegen; enthält den Dreiecksnebel (M33), einen der hellsten Spiralnebel (Entfernung 2,5 Mio.Lichtjahre); 2) Südliches Dreieck, lateinisch Triangulum Australe, Abkürzung TrA, ein Sternbild am Südhimmel, in mittleren nördlichen Breiten nicht sichtbar.

 

 2) Mathematik: eine geometrische Figur, die entsteht, wenn drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte A, B, C (Ecken, Eckpunkte) durch Strecken (Seiten) verbunden werden. Liegen die Seiten in einer Ebene, spricht man von einem ebenen Dreieck. Mit a, b, c werden die den Ecken A, B, C gegenüberliegenden Seiten bezeichnet, mit α, β, γdie Innenwinkel an den Ecken A, B, C. Für ebene Dreiecke gelten stets die Dreiecksungleichung und der Winkelsummensatz: α + β + γ = 180º. Es kann somit höchstens einer der drei Winkel ein stumpfer (d. h. > 90º; stumpfwinkliges Dreieck) oder ein rechter (= 90º; rechtwinkliges Dreieck) sein; sind alle drei Winkel spitz (< 90º), so spricht man von einem spitzwinkligen Dreieck. Der längeren von zwei Dreieckseiten liegt stets der größere Winkel, dem größeren von zwei Winkeln die längere Seite gegenüber. Daraus folgt, dass bei Gleichheit zweier Seiten (den Schenkeln) auch die von ihnen mit der dritten Seite (Basis oder Grundseite) gebildeten Winkel (Basiswinkel) gleich sind und umgekehrt (gleichschenkliges Dreieck). Sind alle drei Seiten und damit auch alle Winkel gleich (α = β = γ = 60º), liegt ein gleichseitiges Dreieck vor. Von besonderem Interesse sind die Ähnlichkeit und die Kongruenz von Dreiecken (kongruent).

 

Im allgemeinen Dreieck gibt es folgende ausgezeichnete Linien: die Mittelsenkrechten (m_a, m_b, m_c) auf den jeweiligen Seiten (z. B. m_c auf c), d. h. die Geraden durch den Mittelpunkt einer Seite, die rechtwinklig zur Seite sind, die Höhen (h_a, h_b, h_c), z. B. h_c auf c, d. h. die Lote von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite (z. B. von C auf c), die Seitenhalbierenden (s_a, s_b, s_c), d. h. die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten (z. B. von C und dem Mittelpunkt von c) und die Winkelhalbierenden (w_α, w_β, w_γ). Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich im Umkreismittelpunkt M, der bei spitzwinkligen Dreiecken im Inneren, bei stumpfwinkligen Dreiecken im Äußeren des Dreiecks liegt. Der Schnittpunkt S der drei Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks; er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1. Auch die drei Höhen schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. Die Punkte H, S, M liegen auf einer Geraden (eulersche Gerade); die Strecke M̅H̅ wird von S im Verhältnis 1 : 2 geteilt. Der Schnittpunkt W der drei Winkelhalbierenden ist Mittelpunkt des Inkreises, der alle Dreiecksseiten berührt.

 

Von besonderer Bedeutung ist das rechtwinklige Dreieck. Die Gegenseite des rechten Winkels heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten werden Katheten genannt. Am rechtwinkligen Dreieck können z. B. die Winkelfunktionen definiert werden. Es gelten u. a. der pythagoreische Lehrsatz, der Kathetensatz und der Höhensatz; der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Thaleskreis. In beliebigen Dreiecken gelten statt des pythagoreischen Lehrsatzes der Kosinussatz, der Sinussatz, der Tangenssatz und die Mollweide-Formeln.

 

Der Flächeninhalt F eines Dreiecks lässt sich mithilfe der folgenden Formeln berechnen, wobei r der Umkreisradius ist und für s =¹/₂ (a + b + c) gilt:

 

 

die letzte Formel bezeichnet man als die heronsche Formel.

 

Auf der Kugelfläche spielen die Großkreise die Rolle der geraden Linien der Ebene. Aus Großkreisbögen gebildete Dreiecke auf der Kugelfläche heißen sphärische Dreiecke.

 

Symbolik:

 

In vorgeschichtlicher Zeit war das Dreieck oft Symbol der weiblichen Scham, bei den Griechen, Indern aber auch des Phallus. Den Pythagoreern erschien es als formbildendes Prinzip des Weltalls. Platon nahm diese Vorstellung auf. In der späten Antike spielte das Dreieck im Amulett- und Zauberwesen eine große Rolle, wurde jedoch auch Gottheitszeichen, zumal bei den Ägyptern, die es trinitarisch deuteten. Christliche Gnostiker, dann vor allem die Manichäer übernahmen es als Trinitätssymbol. Augustinus widersprach dem so wirksam, dass es, abgesehen von der irischen Buchmalerei (um 700), erst seit dem 11. Jahrhundert wieder erschien, auch nicht allein, sondern in Verbindung mit der Hand, später dem Haupt, zuletzt dem Namen oder Auge Gottes. - Das Dreieck gilt heute noch bei vielen Völkern als Schutzzeichen.