,- первая буква древнееврейского алфавита,- символы, введенные Г. Кантором (G. Cantor) для обозначения кардинальных чисел (мощностей) бесконечных вполне упорядоченных множеств. Каждое кардинальное число есть нек-рый А. (следствие выбора аксиомы). Но многие теоремы об А. доказываются без аксиомы выбора. Для каждого порядкового числа 
через 
обозначается мощность множества всех порядковых чисел, меньших 
. В частности,
есть мощность множества всех натуральных чисел, 
- мощность множества всех счетных порядковых чисел и т. д. Если 
Кардинал 
является наименьшим кардинальным числом, следующим за 
. Обобщенная континуум-гипотеза заключается в том, что 
для любого порядкового числа 
. При 
равенство приобретает вид 
и составляет содержание континуум-гипотезы. Множество всех А., меньших 
, вполне упорядочено по величине и порядковый тип его равен 
.Естественным образом определяются сумма, произведение и степень А . При этом
Наиболее часто встречаются следующие формулы. Рекурсивная формула Хаусдорфа:
ее частным случаем при 
является формула Бернштейна:
Рекурсивная формула Тарского: если порядковое число 
предельно и 
, то
При этом 
обозначает конфинальный характер порядкового числа 
. Как и в случае кардинальных чисел, различают сингулярные А., регулярные А., предельные А., слабо недостижимые А., сильно недостижимые А. и др. Напр., 
сингулярно, если 
предельно и 
Среди А. нет наибольшего. Множество всех А., как показал Г. Кантор, не мыслимо, т. е. такого множества не существует. См. также Вполне упорядоченное множество, Кардинальное число, Континуум-гипотеза, Множеств теория, Порядковое число.
Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; [3]Коэн П. Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; [4] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970. Б. А. Ефимов.