algebraische Zahl,
jede reelle oder komplexe Zahl, die sich als Lösung einer algebraischen Gleichung einer Variablen x vom Grade n ergibt (d. h. Nullstelle des zugehörigen Polynoms Pn (x) ist), wenn deren Koeffizienten a1, a2,. .., an ganze Zahlen sind. Ist das zugehörige Polynom n -ten Grades über den rationalen Zahlen irreduzibel, so bezeichnet man seine Nullstellen als algebraische Zahlen vom Grad n. Als ganze algebraische Zahlen (ganzalgebraische Zahlen) bezeichnet man die Nullstellen von irreduziblen Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten, bei denen an = 1 ist.
Zu den algebraischen Zahlen gehören alle ganzen Zahlen (sie genügen den linearen Gleichungen x — a0 = 0, worin a0 eine ganze Zahl ist) und alle rationalen Zahlen, aber auch ein Teil der nichtrationalen und nichtreellen (komplexen) Zahlen, z.B. die imaginäre Einheit i als Lösung der algebraischen Gleichung x2 + 1 = 0. Ganzalgebraische Zahlen sind neben den ganzen (ganzrationalen) Zahlen auch die Wurzeln von reellen Zahlen; z. B. ist eine algebraische Zahl vom Grad 2 (als Nullstelle der Gleichung x2 — 2 = 0). Komplexe Zahlen, die keine algebraischen Zahlen sind, werden als transzendente Zahlen bezeichnet, z. B. die Zahl e = 2,71828... (Basis der natürlichen Logarithmen) und die Zahl π (Pi).
Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen Körper; die ganzen algebraischen Zahlen bilden einen Ring und sind Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Die Adjunktion 1) einer algebraischen Zahl zum Körper der rationalen Zahlen liefert einen algebraischen Zahlkörper.
Literatur:
W. Felscher: Naive Mengen u. abstrakte Zahlen, 3 Bde. (1978-79).